第08讲 锐角的三角比的意义- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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知识一、正切与余切
1.正切
a
c
A
B
C
b
直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．
．
2.余切
直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（ctangent）．锐角A的余切记作ct A．
．
题型探究
题型一、寻找对边与邻边
【例1】如图，在中，，，垂足为点Q．
在中，的对边是______，的邻边是______；
在中，的对边是______，的邻边是______．
在____中，的对边是MP；在____中，的邻边是NQ．
的邻边是______，的对边是______．
P
N
M
Q
题型二、求锐角的正切与余切
【例2】在中，，AC = 4，BC = 5，求tan A、ct A、tan B、ct B的值．



举一反三
1.如图，在中，，的对边是______，的邻边是______
的对边是______，的邻边是______．
A
B
C
2.如图，在中，，，垂足为点Q．
（1）．
（2）______，______．（用正切或余切表示）
P
N
M
Q
3.（2021·贵州九年级三模）中，，，，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么tanA＝________．
知识二、正弦与余弦
a
c
A
B
C
b
1.正弦
直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．
．
2.余弦
直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（csine）．锐角A的余弦记作cs A．
．
题型探究
题型一、正弦、余弦的定义
【例3】如图，在中，，，垂足为点Q．
．
______，______．（用正弦或余弦表示）
P
N
M
Q
题型二、求锐角的正弦与余弦
【例4】如图，在中，，AB = 17，BC = 8，求sin A，cs A的值．

【例5】如图，在直角坐标平面内有一点P（3，4）．求OP与x轴正半轴的夹角的正切、正弦和余弦的值．
x
y
P
O

【例6】已知，在中，，BC = 9，sin A =．
求：（1）AB的长；（2）sin B的值．
举一反三
1．（2021·上海九年级专题练习）在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则______．

2．（2019·甘肃九年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________．

3.（2019·全国九年级课时练习）在中，，，，则______，______，______，______，______，______．


4．（2018·安徽九年级期末）如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC=_____。
5.（上海九年级一模）如果在平面直角坐标系xy中，点P的坐标为（3,4），射线OP与X轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于_____．
知识三、三角比之间的联系

备注：如果角确定，那么这个锐角的三角比的确定的.
【例7】（上海普陀区·九年级期末）若为一锐角，且，则 ．
【例8】如图，在中，，BDAC，若AB = 9，BC = 12，求sin A、、、ct C的值．
A
B
C
D

【例9】如图，在平行四边形ABCD中，AB = 10，为锐角，sin B =，，
求AD、AC的长．
课后作业
一、单选题
1．（2021·上海）在中，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在Rt△ABC中，已知a边及∠A，则斜边应为 （ ）
A．asinAB．C．acsAD．
3．（2021·上海九年级专题练习）在中，，那么锐角的正弦等于（ ）
A．B．C．D．．
4．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果⊿ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦値是（ ）
A．都扩大为原来的3倍B．都缩小为原来的
C．没有变化D．不能确定
5．（2020·西安市铁一中学九年级月考）在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·浙江九年级一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（ ）
A．csA＝B．sinB＝C．tanA＝D．tanB＝
7．（2021·湖南九年级期末）Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，csA=，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．5
8．（2021·浙江九年级期末）中，，，，（ ）
A．B．2C．D．
9．（2020·甘肃临泽二中）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在中，C=90°，tan A =3，tanB=________
12．（2020·江苏省淮阴中学开明分校九年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝_____________
13．（2019·全国）若等腰三角形的两边长分别为和，则底角的正切值为______．
14．（2021·上海九年级专题练习）已知中，，，，那么的长是________.
15．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）如图，中，，于，，，，____________．
16．（2021·上海九年级专题练习）已知一次函数的函数图像与轴交于点，且坐标平面内有一点为坐标原点，则_________________．
17．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）α是锐角，若sinα＝cs15°，则α＝_____°．
18．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知， 其中为锐角，求、、的値．

19．（2019·全国九年级课时练习）如图，在中，，，垂足为，，．求的值．



20.（2018·上海松江区·九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinC=，点D是BC上一点，且DC=AC．
（1）求BD的长；
（2）求tan∠BAD．