第05讲 相似三角形的判定（2）- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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1.相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似（简记SSS）．
如图，在与中，如果，那么∽．

2.直角三角形相似的判定定理;如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似（简记HL）．
如图，在和中，如果，，那么∽．
题型探究
题型一、相似三角形的判定与证明
【例1】（1）如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点．求证：∽．
A
B
C
D
E
F
【答案】证明过程见解析．
【解析】证明 、、分别是边、、的中点，
，，．
，
在与中，
∽（三边对应成比例，两个三角形相似）．
（2）如图，在中，，，，，．
求证：∽．
A
B
C
D
【答案】证明过程见解析．
【解析】证明 ，，．
，在中，．
，， ，
在中，
，∽（三边对应成比例，两个三角形相似）．

（3）如图，在和中，，，垂足为D和，且．
求证：∽．
【答案】证明过程见解析．
【解析】证明：，，
．
在中，
，
∴（斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）
∴
同理可得：．
在中，
，
∴（两角对应相等，两个三角形相似）
举一反三
1.根据下列条件判定与是否相似，如果是，那么用符号表示出来．
（1），，，，，
（2），，，，，．
【答案】（1）相似，．（2）相似，．
【解析】
由题意得，
在与中，
∽（三边对应成比例，两个三角形相似）．
（2）由题意得，
在与中，
∽（三边对应成比例，两个三角形相似）．
2.如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．
求证：∽．
A
B
C
D
E
F
【答案】证明过程见解析．
【解析】由图知：，，，
，，．
，
．
3.在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．
（1），；
（2），，，；
（3），，，；
（4），，，．
【答案】（1）相似；（2）相似；（3）不相似；（4）相似.
【解析】（1），两三角形有两组角对应相等，故相似；
两三角形两边对应成比例且夹角相等，故相似；
两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角，故不相似；
斜边和直角边对应成比例，故相似．
4.求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．
【答案】证明过程见解析．
【解析】已知：如图，、分别是、边、上的中线，且．求证：∽．
证明：分别延长、到点．
使得．
．
、分别是、边、上的中线，
．
，
，
．
，．
，
，．
又， ．
题型二、利用相似三角形证线段成比例、求长度、角度等
【例2】（1）（2019·上海市育才初级中学九年级月考）已知的三边长为,的一边长为,若两个三角形相似，则的另两边长不可能是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设△DEF的另两边长为xcm，ycm，
∵△ABC与△DEF相似，
∴当，解得x=2，y=2.5；
当，解得x=2.5，y=3；
当，解得x=1.6，y=2.4．
故选：D．
（2）（2020·全国九年级单元测试）当______时，边长为3、4、6和边长为8、12、的两三角形相似.
【答案】6
【解析】解：当时，两个三角形相似，此时x=6；
又因为，，所以只有当x=6时，边长为3、4、6和边长为6、8、12的两三角形相似.
故答案为：6.
（3）（2019·上海市民办嘉一联合中学九年级月考）如图，，动点从向运动，当与相似时，试求的长度．
【答案】或8或12
【解析】解：设BP=x，BD=20，则PD=BD-BP=20-x，
分两种情况考虑：
假设△PAB∽△PCD，有，
又AB=6，CD=16，
∴，即6（20-x）=16x，
解得：；
假设△PAB∽△CPD，有，
∴，即x（20-x）=96，
整理得：（x-12）（x-8）=0，
解得：x1=12，x2=8，
综上，当P离B的距离为或8或12时，△PAB与△PCD是相似三角形．
（4）如图，四边形ABCD中，，，，．
求证：．
A
B
C
D
【答案】证明过程见解析．
【解析】证明：，，，
． ．
又，
．
．
又，
．
．
（5）如图，，，且．
求证：．
A
B
C
D
【答案】证明过程见解析．
【解析】证明：，，
．
， ．
． ．
（6）已知：如图，在中，，，，点D 在BC边上，且．
（1）求AD的长；
（2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：∽．
A
B
C
D
E
F
【答案】（1）;（2）证明过程见解析．
【解析】（1），，

．
．
在中，．
（2）点分别是AD、AB的中点，
．
在、中，，．
，
∽．
举一反三
1.（2021·湖南九年级期末）已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，，B．1，，
C．1，，D．1，，
【答案】A
【解析】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故选：A．
2．（2019·上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为，则这个相似三角形的最短边为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设这个相似三角形的最短边为，
三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为，
，
解得：，
这个相似三角形的最短边为．
故选．
3.（2021·河北九年级一模）如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有_____条．
【答案】4
【解析】解：①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；
②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB
③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；
④作∠PGC＝∠A，则△GCP∽△ACB．
故答案为：4．
4.已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是．
【答案】．
【解析】解：如右图，在中，，
于点，．设，，．
易证，得，得，所以
解得，，而，所以．
5.（2019·江苏扬州市·）如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有_____个．
【答案】3
【解析】解：∵AD∥BC，∠D＝90°
∴∠C＝∠D＝90°
∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．
设PD＝x，则PC＝10﹣x；
①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC
∴x：（10﹣x）＝2：12，
解得x＝，即PD＝；
②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP
∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．
∴这样的点P存在的个数有3个．
故答案为3．
6.如图，四边形ABDC、CDFE、EFGH是三个正方形，则的值为多少？
【答案】．
【解析】解：设正方形、、的边长为1．
则，，，，．
， ． ．
四边形是正方形， ． ．
又， ． ．
7.（2019·上海市黄兴学校九年级月考）如图，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，CE与AD交于点G，EF⊥AD于点F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的长．
【答案】AF＝4cm，FG＝3cm，GD＝5cm
【详解】∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
又AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，
∴EF＝3cm，
在Rt△ABD中，AB＝15，BD＝9，
由勾股定理得，AD＝=12，
∵EF∥BC，
∴＝，
∴AF＝4，DF＝8，
∵EF∥BC，
∴＝，
∴FG＝3cm，GD＝5cm．
答：AF＝4cm，FG＝3cm，GD＝5cm．
8.如图，在中，于D，于F，于G．
求证：．
A
B
C
D
F
G
【答案】证明过程见解析．
【解析】证明：，，
．
又， ．
，即．
同理可得：， ．
题型三、相似三角形综合
1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．
2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．
4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
【例3】（1）（2020年上海九年级课时练习）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；
B．有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
C．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；
D．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
【答案】A
【解析】解：A．当这个锐角是一个三角形的底角而是另一个三角形的顶角时，这两个等腰三角形不相似，故该选项错误，是假命题；
B．有一个锐角相等的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，是真命题；
C．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形是相似的，故该选项正确，是真命题；
D．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，是真命题；
故选：A．
（2）（2020·上海市川沙中学南校九年级期中）如图，在正方形中，为中点，． 联结．那么下列结果错误的是( )
A．与相似 B．与相似
C．与相似 D．与相似
【答案】C
【详解】
解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：，
∴，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D，，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，
∴A、B、D正确，C错误，
故选C．
（3）（2020年课时练习）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（ ）
A．△BFEB．△AFDC．△ACED．△BAE
【答案】D
【解析】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵∠EBF=∠DBC
∴△BFE∽△BCD，故选项A正确；
∴∠BFE=∠C，
∵∠AFD=∠BFE=∠C，
又∵∠ADF=∠BDC=90°，
∴△ADF∽△BDC，故选项B正确；
∵∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BDC∽△AEC，
∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确；
∵，
∴，
∵△BFE∽△BCD，
∴，
∴，
∵∠BDC=∠AEB=90°，
若△ABE∽△BCD，
满足条件，
即，
∴满足即，
连结FC，
应有△CEF∽△BDC，
∵∠FEC=∠CDB，
∴只要满足∠FCE=∠DBC，
应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，
已知中没有点E为BD中点条件，
∴△BAE不一定与△BCD相似，
故选项D不正确．
（4）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则下列等式中错误的是（ ）
A．AC﹒BC=AB﹒CDB．AC﹒BD=BC﹒AD
C．AC2=AB﹒ADD．CD2=AD﹒BD
【答案】B
【解析】
解：如图，
A、根据△ABC面积的两种计算方法可知等式成立，正确；
B、由题意可知△ACD~△CBD,所以,所以AC﹒BD=BC﹒CD，错误；
C、由题意可知△ACD~△ABC,所以,所以AC2=AB﹒AD，正确；
D、由题意可知△ACD~△CBD, 所以,所以CD2=AD﹒BD，正确．
故选B．
（5）（2020年上海九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5；
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm，
分两种情况：
①当∠EDB=∠ACB=90°时，
DE∥AC，△EBD∽△ABC，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD=BC=1cm，E为AB的中点，AE=BE=AB=2cm，
∴t=2s；
②当∠DEB=∠ACB=90°时，
∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴∠BDE=∠A=30°，
∴BE=BD=cm，
∴AE=3.5cm，
∴t=3.5s；
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5.
（6）（2020·上海市静安区实验中学）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
解：如图示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，
①
，
，
故①是不正确的；
，，，，
，
，
，
故③是正确的；
，，，，
，
，
；
故④是正确的；
∵，，，，
∴，
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
故②是错误的；
综上所述③④是正确的，正确的有2个，
故选：B．
举一反三
1．（2020·上海九年级月考）下列命题中的真命题是（ ）
A．两个直角三角形都相似
B．若一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，则这两个直角三角形相似
C．两个等腰三角形都相似
D．两个等腰直角三角形都相似
【答案】D
【解析】A、如一个直角三角形的三个内角分别为，另一个直角三角形的三个内角分别为，这两个直角三角形不相似，则此项是假命题；
B、如一个直角三角形的三边长分别为，另一个直角三角形的三个内角分别为，这两个直角三角形不相似，则此项是假命题；
C、如一个等腰三角形的三个内角分别为，另一个等腰三角形的三个内角分别为，这两个等腰三角形不相似，则此项是假命题；
D、等腰直角三角形的三个内角都是，满足三角形相似的判定定理，则此项是真命题；
故选：D．
2．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，AD和BE分别是三角形的高，则图中相似三角形有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
【答案】C
【解析】∵在△ABC中，AD和BE分别是三角形的高,
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∵∠AOE＝∠COD，
∴∠AOE＝∠COD=∠ABD＝∠CBE
∴△AOE∽△COD∽△ABD∽△CBE，
∴共有6对相似三角形．
故选：C．
3.（2019·上海九年级月考）在中，，则下列等式一定不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：根据射影定理，得①AC2=AD•AB，②BC2=BD•AB，③CD2=AD•BD．
而AB2=AC2+BC2，AC2+BC2和AC•BC不一定相等，
故AB2=AC•BC错误．
故选：C．
课后作业
1．（2021·上海九年级一模）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【答案】D
【解析】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；
B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；
C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；
D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；
故选：D．
2．（2018·上海民办兰生复旦中学九年级月考）下列各命题中，真命题的个数是（ ）
①两边成比例的两个直角三角形相似；
②两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；
③两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形相似；
④三条直线被两条直线所截，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行；
⑤如果一条直线截三角形两边的延长线，所得对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解析】①这两条边必须是对应的直角边，错误；
②这个角必须是两边的夹角，错误；
③假如一个是锐角三角形，一个钝角三角形，错误；
④如果截得两条直线是平行关系也成比例，错误；
⑤两边的延长线应该在第三边的同侧，错误；
一个都不对．
故选：A．
3．（2020·崇明县大同中学九年级月考）在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠EB．＝且∠B＝∠E
C．＝＝D．＝且∠A＝∠D
【答案】B
【解析】解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，不能得出△ABC∽△DEF，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
D、＝，且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（2019·上海市闵行区七宝第二中学九年级期中）下列各组图形必相似的是（ ）
A．任意两个等腰三角形
B．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形
C．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形
D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
【答案】D
【解析】A. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误;
B.因为不能判定已知边2和4是直角边还是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；
C. 两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误;
D. 两边和一边的中线均对应成比例，即可以判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，即可判定三角形相似，故本选项正确.
故本题选D.
5.（2020·上海上外附中九年级月考）如图，已知在中，于点，且具有下列条件之一，其中一定能够判定是直角三角形的共有（ ）
① ②
③ ④
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
①当时，则有∠BAD=∠CAD，
不一定能得到∠BAC=90°，故不符合题意；
②当时，则有∠C+∠B=90°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，故符合题意；
③当时，∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ADB∽△CDA，
∴∠B=∠CAD，
∴∠B+∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故符合题意；
④当时，由∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠ADB=∠CAB=90°，
∴△ABC是直角三角形，故符合题意；
综上所述：能判定△ABC是直角三角形的是②③④三个；
故选C．
6．（2021·安徽九年级月考）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④
【答案】C
【解析】解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选：C．
7．（2019·上海九年级期中）一个三角形的三边分别为3,4,5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则这个三角形的边长不可能是（ ）
A．B．C．9D．10
【答案】C
【解析】解：当边长为8的边长与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例时，则另两条边长分别为：，；
当与边长为4的对应成比例时，其另两条边长分别为：=6，=10；
当与边长为5的对应成比例是，其另两条边长分别为：，；
∴这个三角形的边长不可能是9，
故选C．
8．（2020·余姚市姚北实验学校九年级期中）如图，、是锐角的两条高线，则图中与相似三角形有______个．
【答案】3
【解析】，是的高，
，
，，
，
，，
，
又∵，
，
，，
，
综上与相似的三角形有3个．
故答案为：3．
9．（2020·上海上外附中九年级月考）的边长分别为的边长分别，则与____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【答案】不一定
【解析】解：∵的边长分别为的边长分别，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时，，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似，
∴与不一定相似，
故答案为：不一定．
10．（2021·山东九年级期末）一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形_____（选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似．
【答案】不一定
【解析】解：这两个直角三角形不一定相似．
理由如下：
如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似；
如图，当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似．
综上：这两个直角三角形不一定相似；
故答案为：不一定．
11．（2020·上海九年级月考）如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是_____．
【答案】2或12或
【解析】解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，
当△ABP∽△PDC时，，即，
解得，x1＝2，x2＝12，经检验x1＝2，x2＝12是原方程的解；
当△ABP∽△CDP时，，即，
解得，x＝，经检验x＝是原方程的解；
综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，
故答案为：2或12或．
12.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，DA⊥DC，DC=6，AD=8，AC⊥BC，则AB=______．
【答案】
【解析】∵DC∥AB，DA⊥DC，AC⊥BC，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（2021·江苏九年级一模）如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，
根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC；
（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，
∴，
∴AF=4，
∵AE=AB-BE=8-EF，
∴EF2=AE2+AF2，
即EF2=（8-EF）2+42，
解得：．
14．（2021·上海九年级其他模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF且AE＝BF．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
∵ ，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
（2）连接EF、BE
由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴DF＝CE，
∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2＝AF•AD，
∴
∵∠FDE＝∠BCE＝90°，
∴△FDE∽△BCE，
∴∠DEF＝∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CEB，
∴∠ABE＝∠DEF．
15．（2019·上海九年级期中）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
【答案】(1) (2)△ABC∽△DEF.
【解析】(1)

故答案为
(2)△ABC∽△DEF.
证明：∵在4×4的正方形方格中，

∴∠ABC=∠DEF.
∵
∴
∴△ABC∽△DEF.
16．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，，点是线段的中点，． 求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）由（1）可知：，
∴，
又∵点是线段的中点，
∴，
∴，
即：，
又∵，
∴，
∴．
17．（2020·上海市静安区实验中学）如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足，求证：△ABD∽△ACE．
【答案】证明见解析．
【解析】∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵，
∴△ABD∽△ACE．
18．（2019·上海市民办嘉一联合中学九年级月考）如图，在中，，是边的中点，，与射线相交于点，与边相交于点．
（1）求证：
（2）如果，求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）∵，
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴，即：
（2）∵
∴即
又
∴
∵
∴
∴
∴
∴