第02讲 比例线段- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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第2讲   比例线段1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为），其中；除以所得的商叫做比值，如果，那么.（1）如果（或），那么就说、、、成比例．其中是、、的第四比例项.（2）如果，则是、的比例中项.要点：（1）比例表达是有顺序的；（2）比例中项：.2、比例的性质（1）基本性质： 如果，那么；（外项积等于内向积） 如果，那么，，．（2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么．（3）等比性质： 如果，那么（如果是实数运算，要注意强调）．（4）合分比性质：如果，那么.3、比例线段的概念对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．要点：（1）注意顺序：线段、、、成比例，则；线段、、、能够构成比例线段，则有三种情况.（2）线段的比例中项：4、黄金分割如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．    黄金分割相关图形：要点：（1）一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，可能有两解；（2）简记方法：题型一、比例求值【例1】（1）已知则              .（2）若则              .（3）设且，则              .（4）若且则              .（5）若则              .    方法总结：求比例式的比值的方法，往往用设“k”法来求解.题型二、比例线段与比例中项【例2】（1）下列线段、、、四条线段，成比例线段的是（     ）                  B.                  D.方法总结：判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方法1：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方法2： 判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等. 若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段.（2）已知线段、、、成比例.①若，则          ；②若的第四比例项是4，则的值为          .③已知则的比例中项          .  （3）已知,求证：的比例中项.    题型三、黄金分割【例3】（1）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该是小狗置于画面中的位置（       ）①                 B.  ②                C. ③                D.④（2）我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形成为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD（AB>BC）的边AB上取一点E，使得BE=BC,连接DE,则等于（     ）             B.             C.             D. （3）点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）,则             .  （4）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP=，则AB的长为             .   （5）如图，AB=1,P1、P2是线段AB的2个黄金分割点.①求AP1、AP2的长度；②求，点P1是不是线段AP2的黄金分割点？在图中你还能找到其他的黄金分割点吗？     举一反三1.（2021春·武威月考）下列各组中的四条线段成比例的是 （    ）A.3cm、6cm、8cm、9cm             B.3cm、5cm、6cm、9cm3cm、6cm、7cm、9cm            D.3cm、9cm、10cm、30cm  2.（2020秋•全国期末练习）若且均为正数，则下列结论不成立的是（    ）A.            B.          C.          D. 3.（2020秋•丹东期末）已知，且若，则         . 4.（2020秋•浦东新区期末）写出所有能与4,5,6组成比例的数                . 5.（2020秋·西林县期末）如果线段a=9cm，b=16cm，那么a和b的比例中项       cm. 6.（2021•海陵区一模）科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（37°C）之比等干黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为         °C（精确到0.1 ） 7.（2021•江干区模拟）线段AB=2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP>BP），则AP的长为        cm. 8.若a = 8 cm，b = 6 cm，c = 4cm，则a、b、c的第四比例项d = ______cm；a、c的比例中项x = ______cm．   课后练习1.（2020年•湖南长沙雨花区期中）下列各组线段中,不成比例的是 (　 　)A.4 cm,10 cm,6 cm,8 cm              B.12 cm,4 cm,6 cm,8 cmC.33 cm,11 cm,22 cm,66 cm           D.2 cm,4 cm,4 cm,8 cm2.（2020年•嘉定区期中）如果,那么下列各式正确的是 (　 　)A.           B.          C.          D. 3．（2020秋•包河区期末）若，则下列不成立的是　　A． B． C． D． 4.（2020年•闵行区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP > BP，那么下列比例式能成立的是（   ）（A）；    （B）；    （C）；   （D）． 5.(2020年•甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中为2米，则约为（    ）A.1.24米  B.1.38米  C.1.42米  D.1.62米6.（2020秋•高邮市期末）若三条线段、、的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连　　A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形7.（2020年•闵行一模）已知线段a = 4厘米，c = 9厘米，那么线段a和c的比例中项b为      厘米． 8.（2020年•杨浦区一模）在比例尺是1∶15 000 000的地图上,测得甲、乙两地的距离是2厘米,那么甲、乙两地的实际距离是　　　　千米.  9.（2021•泰州模拟）2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果．地球表面纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家．那么黄金地带纬度的范围是　    　．（黄金比为 已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足，那么AP长为______厘米．  11.（2020年·娄底）若，则          ．  12.（2020秋•静安区期末）已知线段，满足，求的值．   13．（2020秋•奉贤区期末）已知，，且，求、、的值．    若，求m的值.   15.(2019甘肃兰州期末）已知a，b，c是三角形ABC的三边，且满足a+b+c=12，则三角形ABC的形状为            三角形.   16.已知a，b，c是三角形ABC的三边，且判断三角形ABC为何种三角形，并说明理由.