第10讲 解直角三角形- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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知识梳理
在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：
（1）三边之间的关系：
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：
，
，

题型探究
题型一、解直角三角形的基本类型
【例1】（2019·全国）在中，，根据下列条件解直角三角形．
（1），；
（2），．
【答案】（1），，；（2），，．
【解析】
解；（1）∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵a=6，
∴c=AB=2BC=2×6=12，
∴b=12×sin60°=6；
（2））∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵b=10，
∴c=AB==20，
∴a=c=10．
【例2】（2020·山东九年级期中）在中，已知，，．解这个直角三角形．
【答案】，，，，．
【解析】
解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A-∠B=30°，
∴∠A=60°，∠B=30°，
∵sin30°==，
∴b=c，
∵b+c=30，
∴c+c=30，
解得c=20，
则b=10，
a==10．
题型二、解非直角三角形
【例3】（2020·山东）在中，，则的面积为_________
【答案】
【解析】
如图，过点B作BD⊥AC交AC延长线于点D，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°，
∵，
∴，
∴△ABC的面积．
故答案为：．
【例4】（2019·上海市闵行区七宝第二中学九年级期中）等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________
【答案】30°
【解析】
如图
∵△ABC的周长为，腰长为1，
∴AB=AC=1,BC=，
∴过A作AD⊥BC于点D,则BD=，
在Rt△ABD中, ，
∴∠B=30°，
故填30°.
举一反三
1．（2021·哈尔滨市第六十九中学校九年级三模）在中，，，，则的长是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】
解：，，
．
．
故选：A．
2．如图，在中，，则的长为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：∵∠B=90°，tanC=2，
∴=2，即AB=2BC，又AC=10，
∴，
∴或（舍），
∴，
故选D．
3．（2021·辽宁九年级一模）如图，在等腰直角三角形中，，，点D是AB边上一点，若，则线段DB的长度为（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】C
【解析】
解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，
∴BC=6，∠B=45°，且DE⊥BC，
∴∠EDB=∠B=45°，
∴DE=BE，设DE=x，
∵，
∴CE=2DE=2x=6-x，
∴x=2,
∴DE=BE=，
∴BD==2
故选C．
4．（2021·上海九年级专题练习）已知在中，，，，那么AC的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
解：在Rt△ABC中，
sinβ=，
∴AC=AB•sinβ=5sinβ，
故选：B．
5.（2019·上海九年级单元测试）在中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=_____．
【答案】4±3
【解析】
如图，过C点作CD⊥AB于D，设BC=x,
∵∠ABC=30°，
∴CD=BC=x，BD=，
∴AD=（8－）
在Rt△ADC中，根据勾股定理得：
AD2+CD2=AC2
即（8－）2＋（x）2=52
解得4±3
即BC=4±3.
6.（2021·天津九年级月考）如图，在中，，，，解这个直角三角形．
【答案】，，∠ A=60°
【解析】
解：∵，，
∴．
∵，，
即，，
∴，．
7.（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD＝，求∠B，a，c的值．
【答案】∠B＝30°，a＝8，c＝16
【解析】
解：∵∠C=90°，b=8，∠CAB的平分线AD，
∴cs∠CAD，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∴c=2b=16，a8，
即∠B=30°，a=8，c=16．
题型三、解直角三角形的应用
【例5】（2021·上海九年级专题练习）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝_____（结果保留根号）
【答案】
【解析】
解：∵AB＝5，∠B＝60°，
∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝×5＝，
∵BC＝8，
∴S△ABC＝×8×＝10；
故答案为：10．
【例6】（2021·全国九年级专题练习）如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________．
【答案】
【解析】
解：如图，延长BC，AD交于E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴BC=BE-CE=，
∴．
故答案为：
【例7】（2019·浙江九年级其他模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
【答案】（1）12；（2）
【解析】
解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴
即
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝

举一反三
1．（2019·江苏九年级期末）如图，已知中，，.求的面积.
【答案】
【解析】
解：过点A作AD⊥BC,垂足为点D，
在Rt△ADB中，∵，
∴=
∵，
∴
在Rt△ADC中，∵，
∴，
∴AD=DC=4
∴
2．（2021·上海中考真题）已知在中，，，为边上的中线．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）∵，
∴
∴AB=10
∴=；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵为边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG=3
CG=
∴在Rt△BFG中，=．
3．（2021·安徽九年级其他模拟）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
【答案】（1）CD＝5；（2）sin∠EDC＝．
【解析】
解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴．
∵AD＝12，
∴．
在Rt△ABD中，∵，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴＝＝．
4.（2021·山东九年级期末）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，BD＝AC＝10，tanB＝．
（1）求AD的长；
（2）求cs∠C的值和S△ABC．
【答案】（1）8；（2）求cs∠C=；S△ABC=64．
【解析】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB＝＝，
∵BD＝AC＝10，
∴AD＝8；
（2）∵∠ADC＝90°，AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝16，
∴csC＝＝＝，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×16×8＝64．
5．（2020·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么__．
【答案】
【解析】
解：∵∠ACB＝90°，sin B，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC4x，
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，
∴CB1＝BC＝4x，A1B1＝5x，∠ACB＝∠A1CB1，
∵点E是A1B1的中点，
∴CEA1B1＝2.5x＝B1E，
∴BE＝BC﹣CE＝1.5x，
∵∠B＝∠B1，∠CEB1＝∠BED
∴△CEB1∽△DEB
∴
故答案为：
课后作业
1．（2021·湖北省咸宁市马桥镇马桥中学九年级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=26，tanA＝，则AC的长为（ ）
A．25B．13C．24D．12
【答案】C
【解析】
解：如图，
∵∠C=90°，tanA＝，
∴，
∵AB=26，
∴；
故选C．
2．（2020·四川九年级二模）如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（ ）
A．msin40°B．mcs40°C．D．
【答案】C
【解析】
解：∵sinA＝，
∴AB＝，
故选：C．
3．（2021·安徽九年级二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，如果tan∠DBA= ，那么AD的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】
解：作于点．
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
，
又，
．
，
，
在等腰直角中，由勾股定理，得．
故选：B．
4．（2021·山东九年级二模）如图，为的边上一点，，，，，则（ ）

A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】
解：∵Rt△ABC，AC＝4，，
∴，
∴AB＝5，
∴BC＝＝3，Rt△BCD中，∠DBC＝∠A，
∴tan∠DBC=tan∠A=，即，
∴，
∴CD=．
故选：A．
5．（2019·全国九年级专题练习）已知△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB=4，则BC的长为______．
【答案】2+2
【解析】
【解析】
解：作AD⊥BC于D，如图，
在Rt△ABD中，
∵sinB=，csB=
∴AD=4sin30°=4×=2，BD=ABcsB=4×=2，
在Rt△ACD中，
∵tanC=，
∴CD===2，
则BC=BD+CD=2+2，
故答案为：2+2．
6．（2019·乐清市育英寄宿学校七年级期中）如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是__.
【答案】83-8
【解析】
解：如图，作BH⊥AC于H．
∵等腰直角△ABC的面积为16,
∴BA=BC=42，
∵BA=BC=42，∠ABC=90°，BH⊥AC，
∴AC=(42)2+(42)2=8,AH=CH=BH=4,
在Rt△BDH中，∵∠BHD=90°，∠BDC =30°，
∴DH=3BH=43,
∴AD=43-4,
∴SΔADB=12⋅AD⋅BH=12⋅(43-4)⋅4=83-8.
7．（2020·甘州中学九年级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长．
【答案】6
【解析】
解：延长DA交CB的延长线于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB=120°，
∴∠EAB=60°，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=24，
∵∠D=90°，
∴∠C=60°，
∴DE= CD=30，
∴AD=DE-AE=6．
8．（2020·全国九年级专题练习）已知中，，，，解这个直角三角形.
【答案】∠A=30°,BC=3,AC=.
【解析】
解：在中，，，，
，
，
.
故答案为∠A=30°，BC=3，AC= .
9．（2019·全国）已知在中，，．解这个直角三角形．
【答案】，，，，，．
【解析】
解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A=180°×=30°，
∠B=60°，∠C=90°，
∵sin60°==，
∴b=c，
∵．
∴c-c=4-2，
解得：c=4，
b=2．
a==2．
10．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝．解这个三角形．
【答案】c=12，∠A=30°，∠B=60°.
【解析】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝，
∴，
∵， ，
∴∠A=30°，∠B=60°.
11．（2021·上海九年级二模）如图，四边形是平行四边形，联结，．
（1）求的度数．
（2）求的值．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】
解：（1）过点A作，
中
；
（2）过点作，如图，
四边形是平行四边形，
中，
．
12．（2020·湖南九年级期末）如图，四边形中，，，，，．
（1）求AC的长．
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）
即：

经检验：符合题意；
（2）


13．（2021·上海）如图，在中，，，，BD平分．
（1）求BC的长；
（2）求的正切值．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
解：（1）在中，，
，
，
；
（2）如图，过点作于，
平分，，
．
在与中，
，
∴（HL），
，
．
在中，由勾股定理得
．
设，则，．
在中，，
，
，
解得，
．
在中，，
．
14．（2021·上海）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AB＝13，BC＝10，
（1）求△ABC的面积；
（2）求tan∠DBC的值．
【答案】（1）60；（2）．
【解析】
解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E．
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10
∴BH＝5
在Rt△ABH中，AH＝=12，
∴△ABC的面积＝；
（2）方法一：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E．
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10
∴BH＝5
在Rt△ABH中，AH＝=12
∵BD是AC边上的中线
所以点E是△ABC的重心
∴EH＝＝4，
∴在Rt△EBH中，tan∠DBC＝＝．
方法二：过点A、D分别作AH⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点H、F．
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10
∴BH＝CH=5
在Rt△ABH中，AH＝=12
∵AH⊥BC、DF⊥BC
∴AH∥DF，D为AC中点，
∴DF＝AH＝6，
∴BF＝
∴在Rt△DBF中，tan∠DBC＝＝．