【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第03讲 约数与倍数综合 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、数论综合提高二（六上）

一、 约数个数相关问题

1、一个数有15个约数，这个数最小是多少？次小是多少？

【答案】
144；324

【解析】
，故其形式为或，其中a、b为不同的质数．显然更小，其中最小为，次小为．

2、在35的倍数中，恰有35个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式）

【答案】
 

【解析】
，故此时分解质因数必含5和7．，显然只有和满足要求，前者更小．

3、三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10．那么这三个自然数分别是多少？

【答案】
30、36、80

【解析】
，，，．易知约数个数为9的其形式为，约数个数为10的其形式为，约数个数为8的其形式为或．经试验，只有30、36、80满足要求．

二、 完全平方数

4、庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的小朋友向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次所有编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？

【答案】
5

【解析】
转的次数即为其编号的约数个数．最终朝南方的小朋友转了次，故这些号的约数个数为为奇数，即均为平方数，且约数个数为3、7、11、……又因为编号不超过100，故类型只可能为或（其中a为质数），即4、9、25、49、64，共5名．

5、（龙校六年级秋季）1到2011这2011个自然数中，有多少个数约数个数为奇数？

【答案】
44

【解析】
一个数有奇数个约数当且仅当其为完全平方数．，故1到2011中有44个数的约数个数为奇数．

6、两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1．那么这两个数分别是？

【答案】
16、175

【解析】
任何一个正整数，其约数应该是成对出现的，这意味着，一般情况下，一个正整数应该有偶数个约数；但正整数是完全平方数时，就会有奇数个约数；先把2800分解质因数，找出属于完全平方数的约数的个数，再进一步分析，找出符合题意的答案．根据题意：“两个数的乘积等于2800，其中一个数的约数个数比另一个数的约数多1，这表明：这两个数中有一个是完全平方数；由于：，其属于完全平方数的约数有五个：4、16、25、100、400分别进行分析：，各有3个和16个约数，不符合题意，，各有2个和15个约数，不符合题意，2008=16×175，各有5个和6个约数，符合题意，，各有3个和10个约数，不符合题意，，各有6个和9个约数，不符合题意．故答案为：16，175．

三、 最大公约数与最小公倍数反求

7、两个整数的差为7，它们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？

【答案】
23和30

【解析】
设两数为m、n，则，且，故，．，易知23与30即满足要求．

8、M，N是互为反序的两个三位数，且．请问：

（1）如果M和N的最大公约数是7，求M；

（2）如果M和N的最大公约数是21，求M．

【答案】
（1）952（2）861

【解析】
（1）设这两个三位数分别为、（），那么，所以或，经枚举验证只有时符合最大公约数是7．

（2）设这两个三位数分别为、（），那么，所以或，经枚举验证只有时符合最大公约数是21．

9、已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350．满足上述条件的正整数a，b，c共有多少组？

【答案】
20组

【解析】
根据题目条件，a可以表示为，b可以表示为，其中x和y至少有一个为0，当x为0时，y可以取0，1和2．当y为0时，x可以取0，1和2．共有5种情况．c可以表示为，

其中u可以取0或1，v可以取0或1，共计4种情况．由乘法原理，a，b，c共有组．

四、 公约数公倍数应用题

10、（龙校四年级春季）夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走．小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印．那么这条小路长多少米？

【答案】
21.6

【解析】
由于两人各走完一圈后又都回到出发点，故一圈的总厘米数为的倍数．若为216厘米，应留下个脚印．，故长度为216厘米的10倍，为．

11、学校开运动会，在400米环形操场边上每隔16米插一杆彩旗，共插了25杆．后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有5杆彩旗没动．问：现在彩旗的间隔是多少米？

【答案】
5或10

【解析】
没动的彩旗相邻间隔为，故新间隔与16的最小公倍数为80，且新间隔小于16米，可能为5米或10米．

12、（2015年金帆五升六）有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．老师写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被2整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整除．老师作了一一验证，只有两位同学说得不对，而且他俩编号连续，其余同学都对．老师写的数是六位数，这个数至少是______．

【答案】
300300

【解析】
易知1至7号都对，否则编号为其2倍的人说法也是错的．因此，、、这3号说得也都对，错的只能是8、9号．令13个数的最小公倍数是60060，则写的六位数为60060的倍数，且这个倍数不能被2、3整除，故六位数至少是．

五、 分数的最大公约数与最小公倍数

13、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次．在比赛道路上，从起点开始每隔米设有一个陷阱．请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

【答案】
40.5米

【解析】
我们发现，狐狸、黄鼠狼每次跳的路程以及两个陷阱之间的距离都是米的整数倍，因而定义一个新的单位“新米”，规定：．于是狐狸每次跳36新米，黄鼠狼每次跳22新米，每隔99新米有一个陷阱．新米，新米，也就是说狐狸跳了秒后掉坑里，黄鼠狼跳了秒后掉坑里．所以黄鼠狼先掉坑里，这时候狐狸跳了新米，合米．

1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关．现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……．依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数．如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？

【答案】
1968

【解析】
若灯最终被关上，则其开关被按动奇数次，进而编号有奇数个约数，即编号为完全平方数．，故有44盏被关闭，有盏是亮的．

2、有10个约数的自然数最小是多少？有8个约数的最小的奇数是多少？

【答案】
（1）48（2）105

【解析】
设每个字母代表不同的质数

（1），故原数形式为或，最小为；

（2），故原数形式为、或，最小奇数为．

3、42的倍数中，恰好有42个约数的数有多少个？

【答案】
6

【解析】
，故此数形式为，其中a、b、c为2、3、7的一个排列，因此共个．

4、三个自然数乘积为5184，且这三个数的约数个数分别为A个，个、个．那么这三个自然数分别是多少？

【答案】
27、16、12

【解析】
．经试验，27、16、12符合要求．

5、（金帆五年级春季）运动场的跑道一圈长400m，甲骑自行车每分钟490m；乙跑步平均每分钟跑250m．两人从同一地点同时同向出发，至少经过多少分钟两人又同时到达起点？

【答案】
40分

【解析】
甲跑一圈需要分，乙跑一圈需要分，所以经过分同时回到起点．

6、a，b，c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300，c和a、 c和b的最大公约数都是20，且．请问：满足条件的a，b，c共有多少组？

【答案】
7组

【解析】
a和b都是20的倍数，且它们的最小公倍数是300．枚举a、b，共4种可能，依次是300和20；300和60；300和100；100和60．

a、b分别是300、20时，c只能是20，但此时，不符合题意．

a、b分别是300、60时，c可以是20和40．

a、b分别是300、100时，c可以是20、40和80．

a、b分别是100、60时，c可以是20和40．

综上，共7组．

1、300有很多约数，其中有______个是6的倍数．

【答案】
6

【解析】
等价于求的约数个数．有个约数．

2、把一张长108厘米，宽84厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且纸无剩余，至少能裁成________个正方形．

【答案】
63

【解析】
边长最大为，至少能裁成个．

3、一个小于200的自然数，其最小的三个约数之和是31，那么这样的自然数有______个．

【答案】
3

【解析】
显然有一个约数为1，故另两个和为30，设为a、b，其中，且a为质数，b不是1-b中除1、a外任一个数的倍数．经试验，可能为5、25；7、23；11、19；13、17．若为5、25，则原数只能为25或125；若为7、23，则原数只能为161；后两种不满足原数小于200，舍．因此，共3个．

4、已知两个三位数M和N互为反序数（），且它们的最大公约数是6，那么N最小是________．

【答案】
204

【解析】
显然N的百位、个位均为偶数，最小为204．经验证，204、402即满足要求．

5、（2012年科迪实验入学）两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是（    ）．

【答案】
29

【解析】
两数最大公约数必为两数之差的约数，因此最大公约数为1或5．而最小公倍数与最大公约数的差必为最大公约数的倍数，综上最大公约数只能为1，最小公倍数为204，两数乘积为．又因两数之差是5，易得它们分别为12、17，和为29．

6、为自然数，且，、……、与690都有大于l的公约数．的最小值为_______．

【答案】
19

【解析】
，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l的公约数．所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则、、、、是偶数，剩下的4个数中、是3的倍数（5个偶数当中只有是3的倍数），还有、一个是5的倍数，一个是23的倍数.剩下的可以用中国剩余定理求解，是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然是最小解，所以的最小值为19．

7、一个自然数，它除以5余2，除以7余3．那么满足要求最小自然数是________．

【答案】
17

【解析】
由除以7余3逐个试验3、10、17……，除以5余2的最小值为17．

8、张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去．请问：每个小朋友分了多少个苹果？

【答案】
6

【解析】
依题意，一共分出去了个苹果、个梨、个桔子．因为是平均分配，所以216、324、144都是人数的倍数，即人数是216、324、144的公约数，且大于26．，，．所以．

36的约数中，大于26的只有36，所以人数等于36．因此每人分到个苹果．

9、两个数的差是54，它们的最大公约数是18，最小公倍数是180，那么这两个数的和是________．

【答案】
126

【解析】
设两数为、，且满足，解得，两数和为．

10、一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．

【答案】
130

【解析】
最小的那个约数肯定是1，接着感觉到还是不好下手，先考虑奇偶分析．（或随便尝试几种情况后肯定会想到奇偶分析）如果这个数不含因数2，即为奇数，由于，矛盾．如果这个数含因数2，即为偶数，由于，，，，只有1、2、偶、奇和1、2、奇、偶这两种情况可能，故这个数最小的四个约数从小到大依次为：1、2、4、p或1、2、p、，（其中p为1个非2的质数），

对于1、2、4、p，说明，即，所以，那么p是3或7，经验证都不对．

对于1、2、p、2p，说明，即，整理得，很明显p不能整除，所以p只能是5，所以这个数是．