【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第12讲 几何超越提高 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、复杂直线形计算（六上）

一、 基本问题

1、如图，八边形的8个内角都是135°，已知，，，，求的长度．

【答案】
20

【解析】
作出辅助线可补出一个长方形，且4个角补出4个等腰直角三角形，如下图所示：

可知、．

由可知、．所以、．

又因为、，因此．

2、如图所示，五条线段依次首尾相连组成了一个五角星．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少度？

【答案】
180°

【解析】
方法一：如下图所示，连接辅助线：，且．由于．所以．那么，而是一个三角形的三个内角，它们的和等于180°．所以．

方法二：等于线段EA绕A点转到BA的角度，等于线段AB绕B点转到CB的角度，等于线段BC绕C点转到DC的角度，等于线段CD绕D点转到ED的角度，等于线段DE绕E点转到AE的角度，而整个过程相当于从线段EA转到AE，即转了180°．所以．

3、图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．

【答案】
53平方厘米

【解析】
如图所示，可按图中粗虚线切割正方形，可知阴影部分的面积是正方形面积的一半加上中间小长方形面积的一半，为（经常还看作是正方形面积和中间小长方形的面积和的一半）．

4、如图，ABCD是直角梯形，，，．求：

（1）三角形OBC的面积是__________；

（2）梯形ABCD的面积是__________．

【答案】
（1）7.5（2）40

【解析】
（1）△OBC的面积等于△OAD的面积，为．

（2）△ABD的面积等于．△ABO的面积等于．

由任意四边形模型可求得△ODC的面积等于．

梯形ABCD的面积为．

二、 沙漏金字塔

5、如图，将边长为8和12的两个正方形并排放在一起，那么图中阴影部分的面积是多少？

【答案】
43.2

【解析】
根据沙漏模型，，故，．

6、如图，是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的面积是48，，则的面积是多少？

【答案】
12

【解析】
等腰直角三角形斜边上的高与正方形边长相等，故面积也相等，均为48．根据蝴蝶模型，．

7、如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，则三角形AEG的面积为________．

【答案】
 

【解析】
如图，连接EF，易求三角形AEF面积为，，所以．

8、如图，长方形ABCD中，，，三角形DFG的面积为2，长方形ABCD的面积是多少？

【答案】
72

【解析】
延长AB、DE交于H点．根据沙漏模型，．这样，，进而．

9、如图，在三角形ABC中，E是BC边上的中点，D是BE的中点，F是AC边上的三等分点，已知三角形ABC的面积是84，那么阴影部分面积是多少？

【答案】
4

【解析】
设G为BC另一四等分点，延长AE、FG交于H，AE、DF交于I．由于F、G分别为AC、DC的三等分点，所以，且根据金字塔模型，．易知，根据沙漏模型，，进而．因此，．

10、如图，边长为10的正方形ABCD中，，，求阴影部分的面积是多少？

【答案】
 

【解析】
延长AF、BC交于H．根据沙漏模型，．而易知，故．因此，．

三、 几何变换

11、如右图，等腰直角三角形ABC中，，D、E分别是线段AB上的点；已知，，且．三角形ABC的面积是多少？

【答案】
784

【解析】
将CE绕C逆时针旋转至，连结、．

，即．而，，故与的两条对应边与其夹角对应相等，故与为全等三角形，进而．，故，，．因此，，．

12、（龙校五年级春季）如图，在四边形中，，，，求四边形的面积．

【答案】
25

【解析】
过A作BC的垂线交BC于E．由，可知，将绕A点逆时针旋转将至．因为且，故，即、D、C共线．由旋转而来，故，，，，再结合其它条件可知为正方形，，，因此．

13、（龙校五年级春季）如图，凸五边形中，，，．若，．求图中空白部分的面积与阴影部分总面积的差．

【答案】
24

【解析】
设B关于AC的对称点为F，连结FA、FC、FD．根据对称性，，，再结合已知条件可得，，故F为E关于AD的对称点．这样， ，，，．，，．

1、如图，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长依次是1，9，9，5厘米．求这个六边形的周长．

【答案】
42厘米

【解析】
为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米和b厘米．

如上图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为厘米．这样，而．

六边形边长就等于厘米．

2、如图，图中最大的长方形面积是27，最小的长方形面积是5，求阴影部分的面积__________．

【答案】
16

【解析】
最大的长方形面积与最小的长方形面积之差为，剩下部分空白面积与阴影面积相等，因此图中空白面积为，阴影部分总面积为．

3、如图，将边长为10和12的两个正方形并放在一起，那么阴影部分的面积是多少？

【答案】
 

【解析】
由沙漏模型，，故．

4、如图，四边形ABCD是一个梯形，四边形ACEB是一个平行四边形．已知三角形BCE的面积是18，三角形AOD的面积是12，那么四边形ADEB的面积是多少？

【答案】
72

【解析】
，故，，．

5、（龙校五年级春季）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．

【答案】
50

【解析】
过A作BC的垂线交BC于E．由，可知，将绕A点逆时针旋转将至．因为且，故，即、D、C共线．由旋转而来，故，，，再结合其它条件可知为正方形，且AC为其对角线．因此．

6、（龙校五年级春季）如图，先将长方形纸片沿中轴线对折，使左右两边重合，然后打开．再将沿虚线AK对折，使点B落在折痕EF上，此时B位于处，求的度数．试说明道理．

【答案】
 

【解析】
连结，则且，故，即为等边三角形，因此．

1、如图所示，梯形ABCD的上底AD长6厘米，下底BC长12厘米．腰CD的长为9厘米，过B点向CD作出的垂线BE的长为8厘米，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

【答案】
54

【解析】
三角形BCD的面积是平方厘米，所以BC边上的高是厘米，所以梯形的高也是6厘米，梯形的面积是平方厘米．

2、梯形ABCD的面积是100，上底和下底的比是2:3，那么三角形ABO的面积是_______．

【答案】
16

【解析】
，故．

3、如图，在三角形ABC中，，，已知三角形ABC面积是1，那么三角形ABO的面积是_______．

【答案】
 

【解析】
连结OC，设面积为1份，则面积也为1份．根据燕尾模型，，故面积为4份．这样，．

4、如图，已知正方形ABCD之边长为20，E、F分别为AB及BC之中点．那么四边形BFGE的面积是多少？

【答案】
80

【解析】
延长DA、CE交于H点．根据金字塔模型，，即．故，，因此．

5、图中是两个边长分别为8和12的正方形，那么阴影部分的面积是________．（结果用小数表示）

【答案】
38.4

【解析】
根据沙漏模型，，故，，，．

6、如图，在五边形中有一个角为60°，别的角都是120°．这个五边形的周长是_______．

【答案】
14

【解析】
按下图分即可，三部分分别为菱形、平行四边形、等边三角形．

7、在图的正方形中，A，B，C分别是ED，EG，GF的中点．请问：三角形CDO的面积是三角形ABO面积的__________倍．

【答案】
3倍

【解析】
不妨设正方形的边长是2，所以．

又A，C分别是所在边的中点，所以，即，由此可见OA是△DBE的中位线，有，所以△OAD的面积是．

△AOB的面积等于△BAD的面积减去△AOD的面积，等于．

△COD的面积等于△CAD的面积减去△AOD的面积，等于．

由此可得，△CDO的面积是△ABO面积的3倍．

8、在三角形ABC中，已知，，，已知三角形ABC面积是24，那么三角形DEF的面积是_______．

【答案】
7

【解析】
根据鸟头模型，、、所占比例分别为、、．因此，．

9、如图，在边长为20的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是_______．

【答案】
212

【解析】
作辅助线如下图所示，易知除中心面积为的长方形外，其余部分中阴影与空白面积相等．因此，．

10、如图所示，正方形ABCD的面积为1．E，F分别是BC和DF的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？

【答案】
 

【解析】
如下图，在沙漏ADNEG中，，所以，故．

如下图，在在沙漏DHMBE中，，所以，故．

所以，故．