数学选择性必修第一册4.1 数列学案设计

数学归纳法*

五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授(1908～1996)给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡．到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了．虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃．赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”．

[问题]　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？

知识点　数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：

(1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

根据(1)(2)，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法．

　用数学归纳法证明问题时，第一步一定要验证n＝1时成立吗？

提示：不一定．如：证明多边形内角和为(n－2)×180°时，第一步应验证n＝3.

1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据．

2．运用数学归纳法时易犯的错误

(1)对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；

(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；

(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．　　　　

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于________．

答案：3

2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”．当验证n＝1时，上式左端计算所得为________．

答案：1＋a＋a2

[例1]　(链接教科书第157页例1)求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．

[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.

左边＝右边，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即

1－＋－＋…＋－

＝＋＋…＋，

则当n＝k＋1时，

＋

＝＋

＝＋＋…＋＋

＝＋＋…＋＋.

即当n＝k＋1时，等式也成立．

综合(1)和(2)可知，对一切正整数n等式都成立．

用数学归纳法证明等式的策略

应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)n＝n0时，等式的结构；

(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．

这时一定要弄清三点：

①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项；

②代数式相邻两项之间的变化规律；

③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．　　　　

[跟踪训练]

　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．

证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.

那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．

根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.

[例2]　求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．

[证明]　(1)当n＝2时，

左边＝＋＋＋>，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即

＋＋…＋>，

则当n＝k＋1时，

＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋>＋＝，

所以当n＝k＋1时不等式也成立．

由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．

对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法(如拆、添、并、放、缩)，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口．　　　　

[跟踪训练]

　用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋32＋…＋nn<(n＋1)n.

证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，1<2，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k，

那么，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k·(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，

即当n＝k＋1时不等式也成立．

根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立.

[例3]　(链接教科书第160页例5)求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.

[证明]　(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，

此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．

(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立．

即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝k(k－3)个．

现在考虑n＝k＋1时的情形．

对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面．因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立．

由(1)和(2)，可知原结论成立．

用数学归纳法解决几何证明的关键

在几何问题中，常有与正整数n有关的几何证明，其中有交点个数、对角线条数、内角和、将平面分成若干部分等问题，利用数学归纳法证明时，关键是“找增量”，即几何元素从k(k∈N*)个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少个．解题时可以先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明．　　　　

[跟踪训练]

已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．

(1)求过点P1，P2的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．

解：(1)由点P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1，

∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝，

∴点P2的坐标为，故直线l的方程为2x＋y＝1.

(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1，命题成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，

故当n＝k＋1时，命题也成立．

由①②知，对任何n∈N*，都有2an＋bn＝1成立，即点Pn在直线l上.

[例4]　已知数列，，，…，，…，设Sn为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．

[解]　S1＝＝，

S2＝＋＝，

S3＝＋＝，

S4＝＋＝，

可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝.

下面用数学归纳法证明：

(1)显然当n＝1时，S1＝＝，猜想成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即Sk＝.

则当n＝k＋1时，

Sk＋1＝Sk＋

＝＋

＝

＝

＝，

即当n＝k＋1时，猜想也成立．

根据(1)和(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立．

“归纳—猜想—证明”模式的解题方法

(1)观察：由已知条件写出前几项；

(2)归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；

(3)猜想：猜想一般项的表达式；

(4)证明：用数学归纳法证明猜想的结论．　　　　

[跟踪训练]

已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)．

(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；

(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．

解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，

a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，

猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．

(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立．

②假设n＝k(k∈N*，且k≥2)时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N*)，

则当n＝k＋1时，由已知条件和假设有

ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1，

故n＝k＋1时，猜想也成立．

由①②可知，对n≥2，n∈N*有an＝5×2n－2.

1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)

A.　　　　　　　　 B.＋

C.＋  D.＋＋

解析：选D　要注意末项与首项，因为f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.

2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证(　　)

A．n＝1  B．n＝2

C．n＝3  D．n＝4

解析：选C　由题意得，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．

3．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式(　　)

A．1＋＜2  B．1＋＋＜2

C．1＋＋＜3  D．1＋＋＋＜3

解析：选B　由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋＜2，故选B.

4．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．

解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.

答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6