选择性必修第一册4.1 数列学案设计

数列

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题．他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数．毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②.他把这些数叫作正方形数，等等．每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列．

[问题]　(1)数列的有关概念是什么？

(2)数列可分为哪几类？

知识点一　数列的概念

1．定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项．

2．分类：项数有限的数列叫作有穷数列；项数无限的数列叫作无穷数列．

3．记法：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项……an称为第项．

1．2，3，4，5和5，4，3，2是相同的数列吗？

提示：不是．

2．{an}与an是两个相同的概念吗？

提示：不是．{an}表示数列a1，a2，…，an，而an只是数列{an}中的第n项．

给出以下数列：

①1，－1，1，－1，…；

②2，4，6，8，…，1 000；

③8，8，8，8，…；

④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.

其中，有穷数列为________；无穷数列为______．(填序号)

答案：②④　①③

知识点二　数列通项公式与递推公式

1．通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．

2．递推公式

如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．

1．数列{an}与函数有什么关系？

提示：数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}．

2．是否所有的数列都有通项公式？若有是否唯一？

提示：不是．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．若有通项公式也不一定唯一．

3．所有的数列都有递推公式吗？

提示：不是所有的数列都有递推公式．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式．

1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　)

A．1，2，3，4，…　　　　　 B．1，，2，2，…

C.，2，，2，…  D．0，，2，2，…

解析：选B　B中相邻的两项，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.

2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　)

A．－3  B．－11

C．－5  D．19

解析：选D　由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，

则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.

3．数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝________．

解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，

所以a2·a3＝20.

答案：20

4．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．

解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，

令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3(舍去)．

答案：5

[例1]　(链接教科书第126页例4)(1)数列，，，，…的一个通项公式是________．

(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式：

①，，，，…；

②－3，7，－15，31，…；

③2，6，2，6，….

(1)[解析]　数列可写为：，，，，…，分子满足：3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，

分母满足：5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…，故通项公式为an＝.

[答案]　an＝

(2)[解]　①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，

∴an＝.

②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，

∴an＝(－1)n(2n＋1－1)．

③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．

∴an＝4＋(－1)n·2或an＝

由数列的前几项求通项公式的解题策略

(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；

(2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控；

(3)熟悉一些常见数列的通项公式；

(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．　　　　

[跟踪训练]

写出下列数列的一个通项公式：

(1)0，3，8，15，24，…；

(2)1，－3，5，－7，9，…；

(3)1，2，3，4，…；

(4)1，11，111，1 111，….

解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.

(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．

(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.

(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1).

[例2]　(链接教科书第124页例1，例2)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．

(1)计算a3＋a4的值；

(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．

[解]　(1)∵an＝，

∴a3＝＝，a4＝＝，

∴a3＋a4＝＋＝.

(2)若为数列{an}中的项，则＝，

∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，

∴n＝10或n＝－12(舍)，即是数列{an}的第10项．

判断某数值是否为该数列的项的方法

先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项．　　　　

[跟踪训练]

在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．

(1)求{an}的通项公式；

(2)判断88是不是数列{an}中的项？

解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则

解得

∴an＝4n－2.

(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5∉N*，

∴88不是数列{an}中的项.

[例3]　(链接教科书第126页例3)数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．

[解]　由a－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109.∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109.

由递推公式求数列的项的方法

(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；

(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；

(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．　　　　

[跟踪训练]

1．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第三项是(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选C　由题知a2＝×1＋＝1，a3＝×1＋＝.

2．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a1，a2，a3，a4，a5的值，并根据前5项的值能否推断出a2 021的值？

解：a2＝＝＝－3，

a3＝＝＝－，

a4＝＝＝，

a5＝＝＝2＝a1，

∴{an}是周期为4的数列，

∴a2 021＝a4×505＋1＝a1＝2.

数列的单调性的判断及应用

函数的单调性在研究函数性质时有着重要的作用，而数列作为一种特殊的函数，也具有单调性，且单调性是数列的一个重要性质．数列的单调性在研究数列的最值、数列不等式以及在判定某一项是否为已知数列中的项等问题时，都有重要的作用．

1．数列单调性的判断

(1)利用数列单调性的定义判断：

①作差法：即作差an＋1－an后与0进行比较．

若an＋1－an＞0对于任意n(n∈N*)恒成立，则数列{an}是递增数列；

若an＋1－an＜0对于任意n(n∈N*)恒成立，则数列{an}是递减数列；

若an＋1－an＝0对于任意n(n∈N*)恒成立，则数列{an}是常数列．

②作商法：即作商(务必要确定an的符号)后与1进行比较．

对于任意n(n∈N*)，若an＞0，则当＞1时，数列{an}是递增数列；

当＜1时，数列{an}是递减数列．

对于任意n(n∈N*)，若an＜0，则当＜1时，数列{an}是递增数列；

当＞1时，数列{an}是递减数列．

对于任意n(n∈N*)，若an≠0，则当＝1时，数列{an}是常数列．

(2)利用数列的图象直观地判断．

2．利用数列的单调性确定变量的取值范围

常利用以下的等价关系：

数列{an}递增⇔an＋1＞an(n∈N*)；

数列{an}递减⇔an＋1＜an(n∈N*)．

进而转化为不等式成立(恒成立)，通过分离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围．

[迁移应用]

1．已知函数f(x) ＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，3)　　　　　　　 B．(1，2]

C．(2，3)  D.

解析：选C　由题意知an＝

因为数列{an}是递增数列，所以

当n≤10时，3－a＞0，即a＜3；

当n＞10时，a＞1.

且a10＜a11，所以(3－a)×10－6＜a11－9，

即a2＋10a－24＞0，

即(a＋12)(a－2)＞0，所以a＜－12或a＞2.

综上可得a的取值范围为(2，3)．

2．已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N*)，且对任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，则实数λ满足(　　)

A．λ＞0  B．λ＜0

C．λ≥－2  D．λ＞－3

解析：选D　因为对任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列．由an＝n2＋λn知(n，an)(n∈N*)是函数f(x)＝x2＋λx图象上的点，而函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an＜…即可．欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3.

3．已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断数列{an}的单调性．

解：法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2＞0，即an＋1＞an(n∈N*)，故数列{an}是递增数列．

法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则＝＝·＞1.

又an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列．

(注：这里要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小)

法三：令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的拋物线，其对称轴为直线x＝，＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列．

1．有下面四个结论：

①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；

②数列的项数一定是无限的；

③数列的通项公式的形式是唯一的；

④数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式．

其中正确的是(　　)

A．①  B．①②

C．③④  D．②④

解析：选A　结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一个通项公式为an＝④错误．故选A.

2．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于(　　)

A．2  B．3

C．9  D．32

解析：选B　因为an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3.

3．数列0，，，，，…的一个通项公式是(　　)

A．an＝   B．an＝

C．an＝   D．an＝

解析：选C　已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝ .

4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________．

解析：由a1＝1，an＝1＋，得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.

答案：

5．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．

解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，

∴an＝.

由＝2得3n－1＝20，解得n＝7，

∴2是该数列的第7项．

答案：7