高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程导学案

2.4　曲线与方程

1．曲线与方程的概念

一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．

一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．

在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：

①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；

②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．

那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．

思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明．

[提示]　如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．

思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？

[提示]　若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0．

2．两条曲线的交点坐标

曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组的实数解．

3．解析几何研究的主要问题

(1)由曲线求它的方程．

(2)利用方程研究曲线的性质．

4．求曲线的方程的步骤

5．利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法

(1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性

设曲线C的方程为：f(x，y)＝0，一般有如下规律：

①如果以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称；

②如果以－x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称；

③如果同时以－x代替x，以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称．

另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，－y)必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上．因为P(x，y)，P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

(2)根据曲线的方程画曲线

①对于这类问题，往往要把方程进行同解变形．注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作y＝f(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形．

②对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符．

③注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f(x，y)＝0，即为曲线C的方程．  (　　)

(2)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．

  (　　)

(3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样．  (　　)

(4)求轨迹方程就是求轨迹．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

[提示]　(1)×　曲线的方程必须满足两个条件．

(2)×　以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M(－4,6)就不在线段AB上．

(3)√　对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样．

(4)×　求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形．

2．点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值为(　　)

A．1或－5　　　　　　　 B．－1或－5

C．－2或3   D．2或－3

B　[由点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，得a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0得a＝－1或a＝－5．]

3．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　)

A．关于x轴对称　　　　 B．关于y轴对称

C．关于原点对称   D．关于直线x－y＝0对称

C　[将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C．]

4．平面上有三点A(－2，y)，B，C(x，y)若⊥，则动点C的轨迹方程为        ．

y2＝8x(x≠0)　[＝，＝，由⊥得2x－＝0，即y2＝8x(x≠0)．]

【例1】　已知方程x2＋(y－1)2＝10．

(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；

(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．

[解]　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，

()2＋(3－1)2＝6≠10，

∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，

点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．

(2)∵点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝，y＝－m适合上述方程，

即＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－，

∴m的值为2或－．

1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．

2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．

1．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是        ．

　[由曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，

所以(－a)2＝a×(－a)＋2×a＋k，

即k＝2a2－2a＝2－，

所以k≥－．]

【例2】　已知曲线C的方程是x4＋y2＝1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：

①曲线C关于原点对称；

②曲线C关于直线y＝x对称；

③曲线C所围成的区域的面积大于π．

其中，所有正确结论的序号是        ．

[思路探究]　分析关于原点对称的两个点(x，y)，(－x，－y)，是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y＝x对称的两个点(x，y)，点(y，x)，是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．

①③　[将方程中的x换成－x，y换成－y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；

将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错误；

在曲线C上任取一点M(x0，y0)，x＋y＝1，∵|x0|≤1，

∴x≤x，

∴x＋y≥x＋y＝1，即点M在圆x2＋y2＝1外，

故③正确．

故正确的结论的序号是①③．]

讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面：

(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；

(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；

(3)研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)；

(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；

(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．

2．画出方程y＝的曲线．

[解]　∵y＝＝＝||x|－1|，易知x∈R，y≥0．

用－x代替x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y，所以曲线关于y轴对称．

当x≥0时，y＝|x－1|＝

分段画出该方程的图像，即为y轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到方程y＝的图像，如图所示．

【例3】　一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．

[思路探究]　利用动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍列等式，化简即可求出动点的轨迹方程．

[解]　设动点P(x，y)，

由题意，|x－8|＝2，

两边平方可得：x2－16x＋64＝4x2－16x＋16＋4y2．

整理得：＋＝1．

所以动点的轨迹方程为：＋＝1．

直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略

直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．

(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．

(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．

提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．

3．如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a＞0)，|CD|＝2b(b＞0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．

[解]　以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系(图略)，则A(－a，0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，设P(x，y)是曲线上的任意一点，

由题意知，|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，

·＝·，

化简得x2－y2＝．

故动点P的轨迹方程为x2－y2＝．

[探究问题]

1．当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的运动时，怎样求P点的轨迹？

提示：设所求动点P的坐标为(x，y)，再设与P相关的已知点坐标为Q(x0，y0)，找出P、Q之间的坐标关系，并表示为x0＝f(x)，y0＝f(y)，根据点Q的运动规律得出关于x0，y0的关系式，把x0＝f(x)，y0＝f(y)代入关系式中，即得所求轨迹方程．

2．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？

[提示]　在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．

【例4】　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．

[思路探究]　所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．

[解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．

∴即

又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，

∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1．

1．(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“＝2”，求P点的轨迹方程．

[解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，

则＝(x－x0，y－y0)，＝(3－x，－y)，

由＝2得

即又∵M在曲线x2＋y2＝1上，

∴(3x－6)2＋9y2＝1，

∴点P的轨迹方程为(3x－6)2＋9y2＝1．

2．(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3,0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．

[解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵M为PB的中点．

∴又∵M在曲线x2＋y2＝1上，

∴＋＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，

∴P点轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4．

代入法求解曲线方程的步骤

(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；

(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系

(3)代入相关动点的轨迹方程；

(4)化简、整理，得所求轨迹方程．

其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”．

1．曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：

曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．

2．点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程．

坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．

3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．

4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．

5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．

1．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是(　　)

A　  　　　B　　  　　C　　  　D

D　[对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C．]

2．若M(1,2)在曲线x2＋ay2＝2上，则a的值为(　　)

A．　　　　 B．4

C．   D．3

A　[因为M(1,2)在曲线x2＋ay2＝2上，代入曲线方程可得a＝．]

3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是        ．

4个点　[由方程得表示4个点．]

4．曲线y＝和y＝－x＋公共点的个数为        ．

1　[由得－x＋＝，两边平方并整理得(x－1)2＝0，所以x＝，y＝，故公共点只有一个．]

5．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，＝，求点P的轨迹方程．

[解]　由＝知，R、A、P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，

得即x1＝2－x，y1＝－y，代入直线y＝2x－4中，得y＝2x．

即点P的轨迹方程为y＝2x．