人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系学案，共12页。学案主要包含了创新集合定义，创新集合运算，创新集合性质等内容，欢迎下载使用。

提升课　与集合有关的创新问题
以集合为背景的创新问题是考试创新题型的一个热点，此类问题多以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，常在创新集合定义、运算、性质等方面命题，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．
一、创新集合定义
例1　(1)若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)
A．1 B．3 C．7 D．31
答案　B
解析　∵当－1∈A时，则∈A；
当2∈A时，则∈A；
当∈A时，则＝2∈A，
∴集合M＝的所有满足伙伴关系集合定义的元素有3个，那么A＝{－1}或A＝或A＝.
(2)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　)
A．18 B．17 C．16 D．15
答案　B
解析　①当a，b都是正偶数时，a从2,4,6,8,10,12,14中任取一个有7种取法，而对应的b有一种取法，
∴(a，b)有7种取法，即这种情况下集合M有7个元素；
②当a，b都为正奇数时，a从1,3,5,7,9,11,13,15中任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法，
∴(a，b)有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；
③当m＝16，n＝1，和m＝1，n＝16，即这种情况下集合M有2个元素；
∴集合M的元素个数是7＋8＋2＝17.

反思感悟　创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决．
跟踪训练1　设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z等于(　　)
A．(X∪Y)∩∁UZ B．(X∩Y)∪∁UZ
C．(∁UX∪∁UY)∩Z D．(∁UX∩∁UY)∪Z
答案　B
解析　依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)，
(X*Y)*Z＝∁U[(X*Y)∩Z]
＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]
＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁UZ)
＝(X∩Y)∪(∁UZ)．
二、创新集合运算
例2　(1)约定⊗与⊕是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a，b，有a⊗b＝ab，a⊕b＝b(a2＋b2＋1)．设－2 答案　{1,2}
解析　根据运算法则，得x＝2(a⊗b)＋＝2ab＋a2＋b2＋1＝(a＋b)2＋1.(*)
当a＝－1时，b＝1(b＝0不符合题意舍去)；
当a＝0时，b＝1.把与分别代入(*)式，得x＝1或x＝2.故A＝{1,2}．
(2)用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝
若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于(　　)
A．1 B．3 C．5 D．7
答案　B
解析　因为C(A)＝2，A*B＝1，所以C(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，得x＝0或x＝－a.
关于x的方程x2＋ax＋2＝0，
当Δ＝0，即a＝±2时，易知C(B)＝3，符合题意；
当Δ>0，即a<－2或a>2时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合题意；
当Δ<0，即－2 反思感悟　创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．
跟踪训练2　(多选)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{2,3}，B＝{1,2}，则下列结论正确的有(　　)
A．x可取2个值，y可取2个值，z＝(x＋y)×(x－y)对应4个式子
B．A⊗B中有4个元素
C．A⊗B中所有元素之和为4
D．A⊗B的真子集有7个
答案　AB
解析　根据新定义A⊗B中的z对应的式子为z1＝(2＋1)×(2－1)，z2＝(3＋1)×(3－1)，z3＝(2＋2)×(2－2)，z4＝(3＋2)×(3－2)，共4个式子，4个式子对应的值分别为3,8,0,5，所以A⊗B＝{0,3,5,8}，有4个元素，所有元素之和为16；真子集个数为24－1＝15.
三、创新集合性质
例3　设集合A□M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}是“好子集”，它具有下述性质：对于任意2k∈A，都有2k－1∈A且2k＋1∈A(k∈N)(空集是“好子集”)，集合M中有多少个只含有2个偶数的“好子集”？
解　只含有2个偶数的“好子集”A有两种情形：
①两个偶数相邻，有4种可能：2,4；4,6；6,8；8,10.每种可能必有3个奇数(如2,4∈A，则1,3,5∈A)，余下的3个奇数可能在集合A中，也可能不在集合A中，所以符合要求的“好子集”有4×23＝32(个)．
②两个偶数不相邻，有6种可能：2,6；2,8；2,10；4,8；4,10；6,10.每种可能必有4个奇数(如2,6∈A，则1,3,5,7∈A)，余下的2个奇数可能在集合A中，也可能不在集合A中，所以符合要求的“好子集”有6×22＝24(个)．
综上，集合M中有32＋24＝56(个)只含有2个偶数的“好子集”．
反思感悟　创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．
跟踪训练3　(1)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，用U的子集表示由0,1组成的6位字符串，如{2,4}；表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
①若M＝{2,3,6}，则∁UM表示的6位字符串为________；
②若A＝{1,3}，集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________．
答案　①100110　②4
解析　①M表示的6位字符串是011001，则∁UM表示的6位字符串为100110；
②若A＝{1,3}，集合A∪B表示的字符串为101001，
∴集合B可能是{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，共4个．
(2)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 022∈[2]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]．
其中，正确结论的序号是________．
答案　①③
解析　①∵2 022÷5＝404……2，
∴2 022∈[2]，故①正确；
②∵－3＝5×(－1)＋2，
∴－3∉[3]，故②错误；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确．

1．知识清单：
(1)创新集合定义．
(2)创新集合运算．
(3)创新集合性质．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：对所给新定义、新运算等理解有误．

1.如图所示的维恩图中，A，B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合，则A*B等于(　　)

A．∁U(A∪B) B．A∪(∁UB)
C．(∁UA)∪(∁UB) D．(A∪B)∩∁U(A∩B)
答案　D
解析　∵图中阴影部分表示属于集合A∪B，且不属于集合A∩B的元素组成的集合，故选D.
2．设A，B是非空集合，定义：A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0 答案　{x|x＝0或x≥2}
解析　由集合A＝{x|0 可得A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0 则A⊗B＝{x|x＝0或x≥2}．
3．设集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{1,2,3}，定义A*B＝{(x，y，z)|x∈A，y∈B，z∈A∩B}，则A*B中元素的个数为________．
答案　6
解析　因为A＝{x∈N|x<2}＝{0,1}，B＝{1,2,3}，所以A∩B＝{1}．
由列举法可知，A*B＝{(0,1,1)，(0,2,1)，(0,3,1)，(1,1,1)，(1,2,1)，(1,3,1)}，共有6个元素．
4．已知集合M＝{1,2,3,4,5,6,7}，对它的非空子集A中的每一个元素k都乘(－1)k再求和(如A＝{2,3,5}，可求得和为2×(－1)2＋3×(－1)3＋5×(－1)5＝－6)，则这些和的总和是________.
答案　－256
解析　易知集合M＝{1,2,3,4,5,6,7}中的各元素在集合M的所有非空子集中分别出现26次，则对M的所有非空子集中的每一个元素k都乘(－1)k再求和，这些和的总和是26×[(－1)1×1＋(－1)2×2＋(－1)3×3＋(－1)4×4＋(－1)5×5＋(－1)6×6＋(－1)7×7]＝－256.


1．若x∈A且∈A，则称集合A为“和谐集”．已知集合M＝，则集合M的子集中“和谐集”的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　设集合M的子集中的“和谐集”为A，
若－2∈A，则＝∈A，显然不是M中的元素，故－2也不是A中的元素；
若－∈A，则＝∈A，
若∈A，则＝3∈A，
若3∈A，则＝－∈A；
若0∈A，则＝1∈A，若1∈A，则无意义，故0和1都不是A中的元素，
综上，M的子集中的“和谐集”A只有一个，其中A＝.
2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中的所有元素之和为(　　)
A. 0 B. 2 C. 3 D. 6
答案　D
解析　依题意知，A＝{1,2}，B＝{0,2}，
当x＝1，y＝0时，z＝0，
当x＝1，y＝2时，z＝2，
当x＝2，y＝0时，z＝0，
当x＝2，y＝2时，z＝4，
则A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6.
3．设集合S＝{0,1,2,3,4,5}，集合A是S的子集，若当x∈A时，有x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集的个数为(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
答案　C
解析　∵S＝{0,1,2,3,4,5}，
其中不含“孤立元素”的4个元素的子集是{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{2,3,4,5}，{0,1,4,5}，{1,2,4,5}，{0,1,3,4}共6个，
那么S中无“孤立元素”的4个元素的集合的个数为6.
4．非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N＋)中，所有元素的算术平均数记为E(A)，即E(A)＝.若非空数集B满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)，则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合的“保均值子集”有(　　)
A. 5个 B. 6个
C. 7个 D. 8个
答案　C
解析　非空数集A＝{1,2,3,4,5}中，所有元素的算术平均数为E(A)＝＝3，
∴集合A的“保均值子集”有{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共7个．
5．(多选)定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则(　　)
A. A*B的子集个数为15
B. A*B中的所有元素之积为120
C. A*B中的所有元素之和为14
D. A*B的元素个数为5
答案　BC
解析　由题意可知A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，
当x1＝1时，x2＝1或2，可得x＝2或3，
当x1＝2时，x2＝1或2，可得x＝3或4，
当x1＝3时，x2＝1或2，可得x＝4或5，
所以x的值为2或3或4或5，
故A*B的子集个数为24＝16，A错误；
A*B中的所有元素之积为2×3×4×5＝120，B正确；
A*B中的所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14，C正确；
A*B中的元素个数为4，D错误．
6．对于集合A，B，若一个集合为另一个集合的子集，则称这两个集合A，B之间构成“全食”；当集合A∩B≠∅，且互不为对方子集时，则称集合A，B之间构成“偏食”．对于集合A＝{－2,1,2}，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若集合A，B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　①当a＝0时，B＝∅，此时A，B之间构成“全食”；
②当a>0时，B＝，则＝1或2，解得a＝1或，
当a＝1时构成“偏食”，当a＝时构成“全食”，
所以a的取值集合为.
7．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么 k是A的一个“酷元”．给定S＝{x∈N|36－x2>0}，设M⊆S，且集合M有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合 M有________个．
答案　5
解析　由36－x2>0，可解得－6 由题意可知，集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4，
故集合M可以是{2,3}，{2,5}，{3,5}，{3,4}，{4,5}，共5个．
8．对于任意两个数x，y(x，y∈N＋)，定义某种运算“◎”如下：①当或时，x◎y＝x＋y；②当时，x◎y＝xy，则集合A＝{(x，y)|x◎y＝10}的子集个数为________．
答案　211
解析　将集合A中元素逐一列举出来如下，
A＝{(10,1)，(2,5)，(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)}，故集合A中共有11个元素，所以集合A的子集个数为211.
9．已知集合P中的元素有3n(n∈N＋)个且均为正整数，将集合P分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bn}，C＝{c1，c2，…，cn}．若集合A，B，C中元素满足c1 解　集合P＝{1,2,3}为“完美集合”，
令A＝{1}，B＝{2}，C＝{3}．
则集合A，B，C中的元素满足ak＋bk＝ck；
集合Q＝{1,2,3,4,5,6}不是“完美集合”，
对于集合Q，设A中元素之和为M，B中元素之和为N，C中元素之和为L，
所以M＋N＝L，
由题意可得M＋N＋L＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，
所以2L＝21，L＝，不是整数，
所以集合Q＝{1,2,3,4,5,6}不是“完美集合”．
10．设A，B为两个集合，我们定义集合{x|x∈A，且x∉B}为两个集合A，B的差集，记作A－B.
(1)已知A＝{x|－10}，求A－(A－B)和B－(B－A)；
(2)证明：A－(A－B)＝B－(B－A)．
(1)解　因为A＝{x|－10}＝{x|x>1}，
所以A－B＝{x|－1 所以A－(A－B)＝{x|1 (2)证明　A－B＝{x|x∈A，且x∉B}＝A∩(∁RB)，
所以A－(A－B)＝{x|x∈A，且x∉(A－B)}
＝A∩[∁R(A－B)]＝A∩{∁R[A∩(∁RB)]}
＝A∩[(∁RA)∪B]＝[A∩(∁RA)]∪(A∩B)＝A∩B.
B－A＝{x|x∈B，且x∉A}＝B∩(∁RA)，
所以B－(B－A)＝{x|x∈B，且x∉(B－A)}＝B∩[∁R(B－A)]
＝B∩{∁R[B∩(∁RA)]}
＝B∩[(∁RB)∪A]＝[B∩(∁RB)]∪(B∩A)＝B∩A.
由于A∩B＝B∩A，
所以A－(A－B)＝B－(B－A)．

11．(多选)当一个非空数集G满足“如果a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的结论，其中正确的有(　　)
A．0是任何数域的元素
B．若数域G有非零元素，则2 023∈G
C．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域
D．有理数集是一个数域
答案　ABD
解析　A中，当a＝b≠0∈G时，有a－b＝0∈G，所以0是任何数域的元素，正确；
B中，取非零实数a∈G，则＝1∈G，再由a，b∈G，则a＋b∈G，可得任意正整数属于G，正确；
C中，若P＝为数域，取a＝2，b＝4，则＝∈P不成立，错误；
D中，取有理数x1，x2，令a＝x1，b＝x2，则a＋b＝(x1＋x2)∈Q, a－b＝(x1－x2)∈Q，a·b＝(x1·x2)∈Q，且＝∈Q(x2≠0)，所以有理数集Q是数域，正确．
12．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y＝(∁UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，则X⊕(Y⊕Z)等于(　　)
A．(X∪Y)∪(∁UZ)
B．(X∩Y)∪(∁UZ)
C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z
D．(∁UX)∪[(∁UY)∪Z]
答案　D
13．设P，Q为两个数集，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数为________．
答案　8
解析　当a＝0时，由b∈Q，可得a＋b的值为1,2,6；
当a＝2时，由b∈Q，可得a＋b的值为3,4,8；
当a＝5时，由b∈Q，可得a＋b的值为6,7,11.
由集合元素的互异性可知，P＋Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．

14．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为________．
答案　
解析　当a＝0时，B＝∅，此时满足B⊆A，当a>0时，B＝，此时A，B集合只能是“蚕食”关系，所以当A，B集合有公共元素－＝－1时，解得a＝2，当A，B集合有公共元素＝2时，解得a＝，故a的取值集合为.
15．已知k为合数，且1 (1)若k的“衍生质数”为2，则k＝________；
(2)设集合A＝{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B＝{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合A∪B中元素的个数是________．
答案　(1)20　(2)30
解析　(1)依题意设k＝10a＋b(a∈N＋，b∈N)，
则a＋b＝2，又a∈N＋，b∈N，
则a＝2，b＝0，
故k＝20.
(2)由(1)知“衍生质数”为2的合数有20，
同理可推“衍生质数”为3的合数有12,21,30，
“衍生质数”为5的合数有14,32,50，
“衍生质数”为7的合数有16,25,34,52,70，
“衍生质数”为11的合数有38,56,65,74,92，
“衍生质数”为13的合数有49,58,76,85,94，
“衍生质数”为17的合数有98，
所以集合A有7个元素，集合B有23个元素，
故集合A∪B中有30个元素．
16．定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合A1＝{1,2,4}的“长度”为3，集合A2＝{3}的“长度”为0.已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，求U的所有非空子集的“长度”之和．
解　集合U中有6个元素，其非空子集有26－1＝63(个)．
①集合“长度”为0的子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，共6个；
②集合“长度”为1的子集有{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}，{5,6}，共5个；
③集合“长度”为2的子集有{1,3}，{2,4}，{3,5}，{4,6}，{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，共8个；
④集合“长度”为3的子集有{1,4}，{2,5}，{3,6}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,6}，{3,5,6}，{1,2,3,4}，{2,3,4,5}，{3,4,5,6}，共12个；
⑤集合“长度”为4的子集有{1,5}，{2,6}，{1,2,5}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,6}，{2,4,6}，{2,5,6}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,6}，{2,3,5,6}，{2,4,5,6}，{2,3,4,5,6}，{1,2,3,4,5}，共16个；
⑥集合“长度”为5的子集有{1,6}，{1,2,6}，{1,3,6}，{1,4,6}，{1,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,6}，{1,2,5,6}，{1,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,4,5,6}，{1,3,4,5,6}，{1,2,4,5,6}，{1,2,3,5,6}，{1,2,3,4,6}，{1,2,3,4,5,6}，共16个．
故U的所有非空子集的“长度”之和为0×6＋1×5＋2×8＋3×12＋4×16＋5×16＝201.