数学第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性教学演示课件ppt

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第2课时　函数奇偶性的应用第三章　3.1.3　函数的奇偶性学习目标1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式.内容索引利用奇偶性求解析式 一知识梳理用奇偶性求解析式的步骤如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x). 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.命题角度1　求分段函数的解析式当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0.延伸探究　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式.当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.反思感悟 已知f(x)是R上的偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式.因为当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1).因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x(x－1)，x∈(－∞，0). 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式.命题角度2　利用解方程组求解析式因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，在f(x)＋g(x)＝2x＋x2中， ①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2， ②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.(①－②)÷2，得g(x)＝2x.利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从而解出f(x)和g(x).反思感悟 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝ ，求函数f(x)，g(x)的解析式.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).①②函数奇偶性的综合问题 二问题　想一想奇函数与偶函数的图像特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？提示　奇函数在(1,2)上单调递减，偶函数在(1,2)上单调递增.知识梳理1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](af(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. (多选)已知函数f(x)在[－5,5]上是奇函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－4)f(2).又f(x)在[0,5]上是单调函数，所以f(x)在[－5,5]上单调递增，从而f(－3)f(x2)或f(x1)0时，f(x)＝________.5－x＋1当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.5.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.(－1,3)因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|).又因为f(2)＝0，所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2).又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<2，解得－20时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增；y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；123456789101112131415162.定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是A.(－3,0)∪(3，＋∞)B.(－∞，－3)∪(0,3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3,0)∪(0,3)√3.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为A.(－∞，0] B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)√因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增.123456789101112131415164.一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图像如图，下列说法正确的是A.这个函数仅有一个单调递增区间B.这个函数有两个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值－7√1234567891011121314151612345678910111213141516根据偶函数在[0,7]上的图像及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图像，如图所示，可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值7；在其定义域内最小值不是－7.√123456789101112131415166.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a＋b______0.(填“>”“<”或“＝”)12345678910111213141516<由f(a)＋f(b)>0得f(a)>－f(b)，因为f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x).所以f(a)>f(－b)，又f(x)为减函数，所以a<－b，即a＋b<0.123456789101112131415162x＋3设x<0，则－x>0，所以g(－x)＝2×(－x)－3＝－2x－3.又原函数为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝－(－2x－3)＝2x＋3.8.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________________.f(－2)0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式.设x<0，则－x>0.∵当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，∴f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝－f(－x)＝x3＋x－1.123456789101112131415161234567891011121314151610.已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝ 在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论.F(x)在(－∞，0)上单调递减.证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0.因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，所以f(－x2)f(x1)>0.1234567891011121314151612345678910111213141516即F(x1)>F(x2)，1234567891011121314151611.函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是A.[－2,2]　　　B.[－1,2]　　　C.[0,4]　　　D.[1,3]√由函数f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1即为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，得1≥x－2≥－1，即1≤x≤3.12.设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则A.f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0B.f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0C.f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D.f(x1)＋f(x2)>f(x3)√1234567891011121314151612345678910111213141516因为x1＋x2>0，所以x1>－x2，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以f(x1)0推出f(x2)＋f(x3)<0，由x3＋x1>0推出f(x1)＋f(x3)<0，将所得三个不等式相加，可得2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0，所以f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.1234567891011121314151613.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.－2x2＋4因为f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，所以图像关于y轴对称，所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0，又因为值域为(－∞，4]，所以a≠0，所以f(x)＝－2x2＋2a2，所以2a2＝4，所以f(x)＝－2x2＋4.14.若函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＝______，g(x)＝__________.123456789101112131415163x－x2－2∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2， ①∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，又函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2. ②联立①②可得，f(x)＝3x，g(x)＝－x2－2.15.符号函数sgn(x)是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为sgn(x)＝ 若定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋2x，则y＝sgn(f(x))的图像是√1234567891011121314151612345678910111213141516依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，图像关于原点对称.当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋2x，结合f(x)的奇偶性，作出f(x)的大致图像如图所示，根据sgn(x)的定义可知，选项C符合题意.16.已知f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.(1)求证：f(x)为奇函数；由f(x)的定义域为R，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即0＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求证：f(x)是R上的减函数；任取x1，x2∈R，且x10，所以f(x2－x1)<0.所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).所以f(x)是R上的减函数.(3)求f(x)在[－2,4]上的最值.因为f(－1)＝2，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8.因为f(x)在[－2,4]上为减函数，所以f(x)max＝f(－2)＝4，f(x)min＝f(4)＝－8.12345678910111213141516