高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第1课时学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第1课时学案，共13页。学案主要包含了函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性求参数等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题．
导语
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…
而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美．
一、函数奇偶性的判断
问题1 观察下列函数图像，你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？
提示 这两个函数图像都关于y轴对称．
问题2 如何利用符号语言精确地描述“函数图像关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况．
提示 可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．
问题3 观察函数f(x)＝x和g(x)＝eq \f(1,x)的图像，你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？
提示 可以发现，两个函数的图像都关于原点成中心对称．
知识梳理
函数奇偶性的概念及图像特点
有关结论
注意点：
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质；
(2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称；
(3)偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称；
(4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0；
(5)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋ eq \r(1－x2)；
(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.))
解 (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
反思感悟 判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图像法
注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(x)；
(2)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)；
(3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x>0，,x2－x，x<0.))
解 (1)因为函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，
不关于原点对称，
所以f(x)＝eq \r(x)是非奇非偶函数．
(2)因为f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
又f(－x)＝eq \f(\r(1－x2),－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称，
又当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，
综上可知，f(x)是偶函数．
二、奇、偶函数图像的特征及应用
例2 定义在R上的奇函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像；
(2)解不等式xf(x)>0.
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图像如图．
(2)xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号．结合图像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
延伸探究 把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解 (1)f(x)的图像如图所示．
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思感悟 可以用奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称这一特性去画图、求值、解不等式等．
跟踪训练2 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图像如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为( )
A．(2,5) B．(－5，－2)∪(2,5)
C．(－2,0) D．(－2,0)∪(2,5)
答案 D
解析 因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图像，知它在[－5,0]上的图像，如图所示，由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
三、利用函数奇偶性求参数
例3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)设函数f(x)＝eq \f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.
答案 (1)eq \f(1,3) 0 (2)－1
解析 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3).
又函数f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图像的特点，得b＝0.
(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即eq \f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq \f(x＋1x＋a,x).
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
答案 0
解析 方法一 显然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|.
又x∈R，所以a＝0.
方法二 由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.
(2)若定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝eq \f(x＋m,x2＋nx＋1)，则常数m＝________，n＝ ________.
答案 0 0
解析 由已知得f(0)＝0，故m＝0.
由f(x)是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，
即eq \f(－x＋0,x2－nx＋1)＝－eq \f(x＋0,x2＋nx＋1)，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，解得n＝0.
1．知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图像特征．
(3)利用函数奇偶性求参数．
2．方法归纳：特值法、数形结合法．
3．常见误区：忽略奇函数、偶函数的定义域关于原点对称．
1. (多选)给定四个函数，其中是奇函数的有( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝eq \f(1,x)(x>0)
C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝eq \f(x2＋1,x)
答案 AD
解析 对于A，函数的定义域为R，f(x)＝x3，f(－x)＝(－x)3＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；对于B，函数的定义域不关于原点对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；对于D，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝eq \f(x2＋1,－x)＝－eq \f(x2＋1,x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数．
2．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图像关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
答案 C
解析 ∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝－eq \f(1,x)－(－x)＝－eq \f(1,x)＋x＝－f(x)，
∴f(x)＝eq \f(1,x)－x是奇函数，
∴f(x)＝eq \f(1,x)－x的图像关于原点对称．
3．设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－eq \f(1,2)x，则f(1)等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(3,2) D．eq \f(1,2)
答案 C
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝eq \f(3,2).
4．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________ (填序号) .
答案 ②④ ①③
解析 ①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．
5．已知y＝f(x)是偶函数，且f(x)＝g(x)－2x，g(3)＝3，则g(－3)＝________.
答案 －9
1．(多选)下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2
C．y＝eq \f(1,|x|)＋x4 D．y＝x|x|
答案 BC
解析 利用偶函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；
又偶函数需满足f(－x)＝f(x)，排除选项D；
显然BC是偶函数．
2．(多选)若函数f(x)为定义在R上的奇函数，下列结论正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(－x)f(x)≤0
D．eq \f(fx,f－x)＝－1
答案 ABC
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝－2f(x)，
f(－x)f(x)＝－f2(x)≤0，
∴A，B，C正确．
而D不一定成立，如f(x)＝x，
则eq \f(fx,f－x)＝eq \f(x,－x)＝－1(x≠0)，
即当x＝0时，eq \f(fx,f－x)无意义．
3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案 A
解析 因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.
所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－ax3－cx＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．
4．已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 B
解析 由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，
解得g(1)＝3.
5．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≥2，,x2＋1，0≤x<2，))则f(f－2)的值为( )
A．1 B．3 C．－2 D．－3
答案 A
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.
∴f(f(－2))＝f(0)＝1.
6．已知f(x)，g(x)都是定义域内的非奇非偶函数，而f(x)·g(x)是偶函数，写出满足条件的一组函数，f(x)＝________；g(x)＝________.
答案 x＋1 x－1(答案不唯一)
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为_____．
答案 eq \f(9,8)
解析 因为f(x)为奇函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝c＝0，,2b－5＋2b－3＝0，,f－1＝－f1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝2，,c＝0，))
所以f(x)＝x3＋2x，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,8)＋1＝eq \f(9,8).
8．已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
答案 7
解析 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.
9．判断函数f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)的奇偶性．
解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x≠0，且x≠－4.))
故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2>0，
所以f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x＋2－2)＝eq \f(\r(1－x2),x)，
f(－x)＝eq \f(\r(1－－x2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
10．设函数f(x)＝eq \f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数(a，b，c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．
解 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，
∴eq \f(ax2＋1,bx＋c)＋eq \f(ax2＋1,c－bx)＝0，
∴c＝0.
又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.
∵f(2)<3，
∴eq \f(4a＋1,2b)<3，
∴eq \f(4a＋1,a＋1)<3，解得－1∵a∈Z，
∴a＝0或1.
当a＝0时，b＝eq \f(1,2)，当a＝1时，b＝1，
∵b∈Z，
∴a＝1，b＝1，c＝0.
11．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
答案 D
解析 因为f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.
12．(多选)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是偶函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
答案 AB
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数，f(x)－|g(x)|是偶函数．
13．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4,4)，且在(－4,0]上的图像如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________．
答案 (－4，－2)∪(0,2)
14．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
答案 1
解析 在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，
令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
∴f(1)＋g(1)＝1.
15．定义两种运算：①a⊕b＝eq \r(a2－b2)，②a⊗b＝eq \r(a－b2)，则函数f(x)＝eq \f(2⊕x,x⊗2－2)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案 A
解析 结合题中新定义的运算有
f(x)＝eq \f(\r(4－x2),\r(x－22)－2)＝eq \f(\r(4－x2),|x－2|－2).
若使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x－2|－2≠0，,4－x2≥0，))求解不等式可得函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
则函数的解析式为f(x)＝eq \f(\r(4－x2),2－x－2)＝eq \f(\r(4－x2),－x)，
据此有f(－x)＝eq \f(\r(4－－x2),－－x)＝－eq \f(\r(4－x2),－x)＝－f(x)，可得函数f(x)是奇函数．
16．(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明 (1)令x1＝0，x2＝x，得
f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)．①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)．②
由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，
即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
f(－x)的定义域也是(－l，l)．
设F(x)＝f(x)＋f(－x)，
G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
f(x)＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
g(x)＝2－|x|
…
－1
0
1
2
1
0
－1
…
奇偶性
定义
图像特点
偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数
关于原点对称
当n是正整数时
函数f(x)＝x2n是偶函数
函数g(x)＝x2n－1是奇函数