人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性精品第2课时2课时学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性精品第2课时2课时学案，共6页。




探究一 用奇偶性求解析式


若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式.


解 因为f(x)是定义在R上的奇函数，


所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.


当x＞0时，－x＜0，


所以f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).


所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x，x＞0，,0，x＝0，,x1－x，x＜0.))


[变式探究] 若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？


解 设x＞0，则－x＜0，


所以f(x)＝f(－x)＝－x(1＋x).


又f(0)＝0，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1－x，x＜0，,0，x＝0，,－x1＋x，x＞0.))


[方法总结]


根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤[来源:学*科*网Z*X*X*K]


(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.


(2)转化代入已知区间的解析式.


(3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x).


注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.


探究二 函数奇偶性与单调性的综合


函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )


A.f(1)

C.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))

B [因为函数f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，又f(x)在[0,2]上单调递增，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))

[方法总结]


比较大小的策略


看自变量是否在同一单调区间上


(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；


(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.


[跟踪训练1] 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )


A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)


C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)


A [由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图像的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，因为|－2|＜|－3|＜π，所以f(π)＞f(－3)＞f(－2).]


若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，求不等式eq \f(fx－f－x,2)>0的解集.


解 因为f(x)为奇函数，f(3)＝0，所以f(－3)＝0，eq \f(fx－f－x,2)＝f(x).因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，由f(x)>0，得f(x)>f(3)，所以x>3；当x<0时，由f(x)>0，得f(x)>f(－3)，所以－3

[方法总结]


利用单调性和奇偶性解不等式的方法


(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解.


(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响.


[跟踪训练2] 设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)

解 因为g(x)在[－2,2]上为偶函数，


所以g(1－m)

又g(x)在[0,2]上单调递减，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|>|m|.))解得－1≤m

所以m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).








1.函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.


2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.


(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)或其子集上，避免分类讨论.


3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：[来源:学,科,网Z,X,X,K]


(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.[来源:学+科+网Z+X+X+K]


(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.





课时作业(二十一) 函数的奇偶性习题课





1.f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( )


A.增函数 B.减函数


C.有增有减 D.增减性不确定


B [f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3.画出函数f(x)＝－x2＋3的图像知，在区间(2,5)上为减函数.]


2.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≥0，,gx，x<0，))且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )


A.6 B.－6


C.2 D.－2


A [g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.]


3.已知函数g(x)＝f(x)－x－1，其中g(x)是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( )


A.－1 B.1


C.－3 D.3


C [g(2)＝f(2)－2－1＝－2，因为函数g(x)为偶函数，所以g(－2)＝f(－2)＋2－1＝－2，所以f(－2)＝－3.]


4.已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)

A.(－∞，1) B.(－∞，－1)


C.(0,1) D.[－1,1)


A [由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，


所以f(x)在R上单调递增，f(x)

5.若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递减区间是________.


[0，＋∞) [利用函数f(x)是偶函数，得k－1＝0，k＝1，


所以f(x)＝－x2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞).][来源:]


6.设函数y＝f(x)是奇函数.若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________.


－3 [因为f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1).又f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，


所以f(1)＋f(2)＝－3.]


7.已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则当x＜0时，f(x)＝__________________.


－eq \r(－x)－1 [设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝eq \r(－x)＋1，又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).


所以f(x)＝－f(－x)＝－eq \r(－x)－1.


因此，当x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝－eq \r(－x)－1.]


8.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0，))是奇函数.


(1)求实数m的值；


(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.


解 (1)因为f(x)为奇函数，


所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，


解得m＝2.


经检验当m＝2时函数f(x)是奇函数.所以m＝2.


(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，


结合f(x)的图像(图略)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))


所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3].





1.定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则( )


A.f(－1)＜f(3) B.f(0)＞f(3)


C.f(－1)＝f(3) D.f(0)＝f(3)


A [f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以f(－1)＜f(1)＝f(3).]


2.已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为( )


A.2m＋3 B.2m＋6


C.6－2m D.6


D [因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的最小值为－m.所以函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为m＋3＋(－m＋3)＝6.]


3.函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )


A.[－2,2] B.[－1,1]


C.[0,4] D.[1,3]


D [因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).因为f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，所以－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.]


4.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是________________.


f(－2)＜f(1)＜f(0) [因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，


即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立.


所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.


因为f(x)的图像开口向下，对称轴为y轴，


所以f(2)＜f(1)＜f(0)，即f(－2)＜f(1)＜f(0).]


5.已知函数f(x)＝eq \f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq \f(2,3)，则f(－a)＝________.


eq \f(4,3) [根据题意，得f(x)＝eq \f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq \f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq \f(x,x2＋1)是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq \f(2,3)＝eq \f(4,3).]


6.(拓广探索)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有eq \f(fa＋f－b,a－b)＞0.


(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；


(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围.


解 (1)因为a＞b，所以a－b＞0.


由题意得eq \f(fa＋f－b,a－b)＞0.


所以f(a)＋f(－b)＞0.


又f(x)是定义在R上的奇函数，


所以f(－b)＝－f(b).


所以f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b).


(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数.


因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，


所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，


即f(1＋m)≥f(2m－3).


所以1＋m≥2m－3.所以m≤4.


所以实数m的取值范围是(－∞，4].