高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线授课课件ppt

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1.掌握抛物线的几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
在上一节中，我们已经学习了抛物线的定义及其标准方程，这一节我们利用方程研究抛物线的几何性质.
问题　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？
提示1.范围当x>0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线.
2.对称性观察图象，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.
3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0).4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表示，e＝1.
只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是
设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
抛物线的几何性质的应用
(1)已知正△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.
如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又|OA|＝|OB|，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.
如图，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，－y0)，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点弦：解决焦点弦问题.
(1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得 ＝0，则p的值可以为A.2 B.4 C.6 D.8
由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，
据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.
(2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是_______.
由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，
1.知识清单： (1)抛物线的几何性质. (2)抛物线的几何性质的应用.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误.
2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为A.y2＝8x B.y2＝－8xC.x2＝8y D.x2＝－8y
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
4.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝______.
因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
2.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋ y2＋3的最小值是A.2 B.3 C.4 D.0
因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，
所以当x＝0时，z最小，最小值为3.
4.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为 ，则点P到抛物线的焦点F的距离为A.4 B.5 C.6 D.7
由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.
曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，
因为点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，
7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________.
∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上，
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2，0).又A(－2，3)，
8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝_____.
如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.
9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝ ，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程.
设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程.
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线方程为y2＝8x.
12.已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝ ，则抛物线C的方程为A.y2＝6x B.y2＝2xC.y2＝x D.y2＝4x
过P向x轴作垂线，设垂足为Q(图略)，
将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故抛物线C的方程为y2＝6x.
14.抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线 ＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_____.
解得p2＝36，p＝6.
15.在内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是A.(2，＋∞) B.(1，＋∞)C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)
设圆心为P(0，a)(a>0)，半径为r，Q(x，y)是抛物线上任意一点，|PQ|2＝x2＋(y－a)2＝4y＋(y－a)2＝(y－a＋2)2＋4a－4，
因此当r>2时，圆无法触及抛物线的顶点O.
若|PQ|2的最小值不在O(0，0)处取得，则圆P不过原点，
抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
16.已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，
所以M(3，0).故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，