人教版九年级上册24.3 正多边形和圆习题

这是一份人教版九年级上册24.3 正多边形和圆习题，共23页。试卷主要包含了以下四个命题等内容，欢迎下载使用。

24.3� 正多边形和圆� �同步课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题(每小题4分，共10各小题，共计40分)
1．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（       ）


A． B． C． D．
2．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（    ）

A．
B．
C．
D．
3．如图，的外切正六边形的边心距的长度为，那么正六边形的周长为（       ）

A．2 B．6 C．12 D．
4．如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　　）


A．3 B． C． D．3
5．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是（       ）

A． B． C． D．
6．以下四个命题：其中真命题的个数有（       ）
①若，则；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③若正六边形的边长为，则它的面积为；
④若函数图像与轴只有一个交点，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（       ）

A．2 B．4 C．5 D．6
8．如图，五边形是⊙O的内接正五边形，则的度数为（   ）

A． B． C． D．
9．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，．当时，下列说法错误的是（       ）


A． B．
C． D．与相等
10．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边形不可能是（       ）


A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形

评卷人
得分



二、填空题(每小题5分，共5各小题，共计25分)
11．若正六边形和正五边形按如图所示的方式放置，其中两个正多边形底边重合，则的度数为______．

12．如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为____．

13．如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是 _____平方分米．


14．如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______．

15．三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．



评卷人
得分



三、解答题(16、17、18题9分，19题8分，共计35分)
16．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．

(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
17．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．

(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
18．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．

（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
19．如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．

（1）求的度数；
（2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．

参考答案：
1．C【分析】根据圆的面积公式得出方程，根据算术平方根求出OA、OB、OC的值，再代入即可得出答案
【详解】解：以OA半径的圆的面积是πr2，则以OB半径的圆的面积是πr2，则以OC半径的圆的面积是πr2
∴πr2，πr2，
∴OB＝r，OC＝r．
∴OA：OB：OC＝r：r：r＝ ：：1，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，算术平方根，圆的面积的应用，解此题的关键是能根据题意得出关于OA、OB、OC的方程，难度不是很大．
2．C【分析】如图，连接利用正多边形的性质求出，，可得结论．
【详解】解：如图，连接．

是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
3．C【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据边心距得到OG=，证明△OAB是等边三角形，利用勾股定理求出AB，从而可得周长．
【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
由题意可得：OG=，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA==2，
∴正六边形ABCDEF的周长为2×6=12，
故选：C．

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
4．C【分析】利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG．
【详解】∵圆O的周长为，设圆的半径为R，
∴
∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故选 C

【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．
5．A【分析】连接，，，交于点O．连接交于点G．连接．由于六边形是正六边形，可得：六边相等，六个内角相等，可求出各内角的度数为：．由于点O是正六边形的中心，可得：．可证出．所以是等边三角形，四边形是菱形，同理可得出：四边形是菱形，四边形是菱形，且这三个菱形全等．由于四边形是菱形，所以．在等边三角形中，边长为2a，可求出．所以，可求出．由题意得：、、，三点共线，四边形是平行四边形，所以，可求出
所以．
【详解】解：连接，，，交于点O
连接交点G，连接
六边形是正六边形


点O是正六边形的中心

在和中



四边形是菱形
同理可证：四边形是菱形，四边形是菱形
菱形菱形菱形
四边形是菱形
，，
，
在中，




六边形是正六边形
由平移得：、、，三点共线，四边形是平行四边形，
同理：四边形是平行四边形，且




故选A．

【点睛】本题主要考查知识点，正多边形的性质以及平移的性质．正多边形是各边相等，各内角相等的多边形．平移的图形，原点和对应点的连线等于平移的距离，原线段与对应线段平行且相等．掌握正多边形的性质和平移的性质是解决本题的关键．
6．B【分析】根据不等式的性质可对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据正多边形的性质对③进行判断；分a=0和a0两种情况讨论对④进行判断．
【详解】解：①若m2x>m2y，则x>y；真命题，符合题意；
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等；假命题，不符合题意；
③如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OC、OD，


过O作OG⊥CD于G，
∵∠COD==60°，OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=CD=OD=，
∴CG=DG=，
由勾股定理得：OG=，
∴S正六边形ABCDEF=6S△OCD=6××CD×OG=3××=3；真命题，符合题意；
④当a=0时，函数为y= −x+1，函数y=ax2−(a+1)x+1图像与x轴只有一个交点；
当a0时，函数y=ax2−(a+1)x+1图像与x轴只有一个交点，
∴0，即0，解得：a=1；
假命题，不符合题意；
综上，真命题有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．还考查了正多边形和圆，二次函数与x轴的交点问题，圆周角定理等知识点．
7．D【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图

符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8．D【分析】先根据正五边形的内角和求出每个内角，再根据等边对等角得出∠ABE=∠AEB，然后利用三角形内角和求出∠ABE=即可．
【详解】解：∵五边形是⊙O的内接正五边形，
∴∠A=∠ABC=，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算，掌握圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算是解题关键．
9．C【分析】连接OA，OB，OC．根据多边形的内角和定理求出∠ABC，进而根据角的和差关系判断A选项不符合题意；根据正六边形的性质确定OA=OB并求出∠AOB和∠BOC，根据等边对等角确定∠OAM=∠OBC，根据全等三角形的判定定理和性质确定D选项不符合题意；结合正六边形的性质，线段的和差关系确定B选项不符合题意；结合正六边的性质确定C选项符合题意．
【详解】解：如下图所示，连接OA，OB，OC．


∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OA=OB=OC，，，AB=DC，．
∴，．
∴∠OAM=∠OBN．
∵∠GOK+∠ABC=180°，
∴∠OMB+∠ONB=360°-（∠GOK+∠ABC）=180°，∠GOK=180°-∠ABC=60°．
故A选项不符合题意．
∵∠OMA+∠OMB=180°，
∴∠OMA=∠ONB．
∴．
∴∠OMA=∠ONB，MA=NB，．
故D选项不符合题意．
∴MB+NB=MB+MA=AB=DC．   
故B选项不符合题意．
∴．
∴．
故C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查多边形内角和定理，正多边形的性质，等边对等角，全等三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．
10．B【分析】由正多边形和外接圆，找中心角，实际动手操作来进行解题．
【详解】解：经过动手操作，如果过斜边的中点，构造顶角为45°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正八边形；
如果过直角三等分线与边的两个交点，构造顶角为30°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正十二边形；
如果过三等分线与边一个交点构造顶角60°和30°的等腰三角形，剪去两对重合角，可以得到正六边形，
而得不出十边形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了与剪纸相关的知识，正多边形和圆的综合，熟练地动手操作能力是解决问题的关键．
11．12°【分析】据正五边形和正六边形性质得出各内角度数，进而可得答案．
【详解】解：∵在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK中，∠，∠，
∴∠GBC=∠ABC-∠ABG=120°-108°=12°，
故答案为：12°．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角．
12．【分析】利用已知条件以及三角形内心的性质，将转化为定角，进而通过作的外接圆，利用圆内接四边形的性质找到当点P与点重合时，CP的值最小，最后通过求解即可．
【详解】解：，


点P是的内心，
分别是和的平分线，

易证（SAS）

点P在以AB为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示：

圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则


，
连接OC，交⊙O于点，当点P与点重合时，CP的值最小，分别过点O作于点M，交CB的延长线于点N，如图所示：

则四边形OMBN是正方形，


在中，

即CP的最小值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，涉及到正方形的性质、三角形的内心、三角形外接圆以及圆内接四边形的性质等知识，根据已知条件作出适当的辅助线以及借助圆的相关性质是解决本题的关键．
13．【分析】求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由含30°的直角三角形的性质可知斜边是短直角边的2倍；
根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1分米，
所以它的面积为16（平方分米），
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提．
14．12【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正方形与内接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，则∠BOC=30°，然后计算即可得到n的值．
【详解】解：连接OA、OB、OC，如图，

∵AC，AB分别为⊙O的内接正方形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，
∴n==12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
15．【分析】如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，证明可得三点共线，可得关于O对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，


三个正六边形，O为原点，





同理：

三点共线，
关于O对称，

故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；
（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
（1）
证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）
解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，

∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
（1）
连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．

（2）
在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；

【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．
18．（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=【分析】（1）由题意可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，在利用三角形外角的性质即可求解
（2）根据（1）的求解过程，即可求解
（3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论
【详解】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外角的性质是解题关键．
19．（1）45°；（2）8【分析】(1)连接，，由正方形内接于，可求中心角．．
(2)连接，，由正方形内接于，可求．由点为的中点，可求,可得，利用周角除以一个中心角即可求解
【详解】解：（1）连接，，
∵正方形内接于，
∴．
∴；

（2）连接，，
∵正方形内接于，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，掌握圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，利用周角除以正n边形的中心角求边数是解题关键．