2021-2022学年湖南省普通高中学业水平合格性考试（四）高二数学试题含解析

这是一份2021-2022学年湖南省普通高中学业水平合格性考试（四）高二数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省2022年普通高中学业水平合格性考试（四）数学时量：90分钟    满分：100分一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合,, 则A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由并集运算求解即可【详解】由并集的定义，可得.故选D.【点睛】本题考查集合的并集运算,熟记并集定义是关键,是基础题2. 设命题，，则（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，命题“，”的否定“，”.故选：A.3. 已知，bR，且＜b，则下列不等式一定成立的是（    ）A. +3<b+3 B. 5>b5 C. 2>2b D. 【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质分析判断【详解】因为，bR，且＜b，所以由不等式的性质可得，，，，所以A正确，BCD错误，故选：A4 （    ）A. -1 B. 0 C. 1 D. 10【答案】C【解析】【分析】利用对数的运算性质求值即可.【详解】由.故选：C.5. 一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）A. y＝10－x(0<x<5)B. y＝10－2x(0<x<10)C. y＝20－x(0<x<5)D. y＝20－2x(0<x<10)【答案】A【解析】【分析】利用周长列方程，化简求得关于的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式.【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函数解析式为.故选：A6. 在复平面内，复数对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.【详解】，其对应点的坐标为位于第一象限.故选：A7. 设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（    ）A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性进行求解.【详解】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以.故选：A8. 与为同一函数的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据定义域和对应法则，逐项判断即可得解.【详解】对于A，函数与的对应法则不同，所以两函数不是同一函数，故A错误；对于B，函数，与函数的对应法则相同，且定义域均为R，所以两函数同一函数，故B正确；对于C，函数的定义域为，的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，故C错误；对于D，函数的定义域为，的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，故D错误.故选：B.9. 函数的最小正周期是（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】直接利用函数 的周期公式 求解.【详解】函数的最小正周期是，故选：B．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，还考查了运算求解的能力，属于基础题．10. 正方体中与垂直的平面是（    ）A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面【答案】D【解析】【分析】在正方体中，证明⊥面，而面、面、面均与面相交，即可判断.【详解】正方体中，在A中，与平面相交但不垂直，故A错误；在B中，与平面相交但不垂直，故B错误；在C中，与平面相交但不垂直，故C错误；在D中，，，，平面，故D正确.故选D.11. 下列函数中，最小值为2的函数是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式和配方法分别求出各选项的最值，即可得到答案；【详解】解：对于A，当时，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，当且仅当取等号，故D正确；故选：D.12. 某校为了了解学生对“中国梦”伟大构想的认知程度，举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分，以下数据为参加竞赛决赛的15名同学的成绩（单位：分）：68，60，62，76，78，69，70，71，84，74，46，88，73，80，81．则这15人成绩的第80百分位数是（    ）A. 80 B. 80.5 C. 81 D. 81.5【答案】B【解析】【分析】将15人的成绩从小达到排列，根据百分位数的定义求解即可.【详解】解：将15人的成绩从小到大排列：46，60，62，68，69，70，71，73，74，76，78，80，81，84，88；又，则第12位数字是80，第13位数字是81，故这15人成绩第80百分位数是.故选：B.13. 将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换求解.【详解】解：将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为.故选：C14. 如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】∥，所以及为异面直线与所成的角或其补角，连接，根据余弦定理即可求得答案.【详解】如图，连接，则，由题知，，，∵∥，所以及为所求角或其补角，所以.故选：D.15. 在中，已知，，，则的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先用平方关系求出，再用面积公式求面积【详解】所以故选：C16. 已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据特殊值，排除选项.【详解】由图象可知，函数的定义域里有0，所以排除CD，并且，排除B.故选：A17. 甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B､C三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】分别写出基本事件数和符合条件的事件数，利用古典概型公式求解即可.【详解】甲、乙在A，B，C三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有,,,，,,,,共9种，其中甲，乙购买的是同一种医用外科口罩基本事件有,3种，则其概率为.故选:.18. 已知函数则下列说法正确的个数是（    ）①是上的增函数；②的值域为；③“”是“”的充要条件；④若关于的方程恰有一个实根，则A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C【解析】【分析】结合分段函数、指数函数、对数函数的图象与性质对四个说法进行分析，由此确定正确答案.【详解】画出的图象如下图所示，所以在和上递增，①错误；的值域为，②正确；，所以③错误；，要使“关于的方程恰有一个实根”，即图象与的图象只有一个交点，则，所以④正确.所以正确的有个.故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．19. 已知，，，，，则________．【答案】##【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则可得.【详解】.故答案为：.20. _____．【答案】.【解析】【详解】 由正弦的背胶公式可得.21. 某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生的人数及其概率如下表：医生人数012345人及其以上概率0.180.250.360.10.10.01则派出至多2名医生的概率_____【答案】0.79【解析】【分析】从频率分布表中找出至多派出名医生的所有情况，并将相应的概率相加可得出答案．【详解】由题意可知，事件“至多派出名医生”包含“派出的医生数为、、”，其概率之和，故答案为．【点睛】本题考查概率的基本性质，考查概率的加法公式的应用，解题时要弄清所求事件所包含的基本事件，考查计算能力，属于基础题．22. 某工厂8年来某种产品年产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；  ②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；      ④第三年到第八年每年的年产量保持不变.其中说法正确的序号是________.【答案】②④【解析】【分析】根据函数图象，结合函数增长率的情况，即可容易判断.【详解】由图可知，前年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确；综合所述，正确的为：②④.故答案为：②④.三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）在中，由正弦定理，得． 又因为在中．所以． 法一：因为，所以，因而．所以，所以． 法二：即， 所以，因为，所以． （2）由正弦定理得，而，所以　，①由余弦定理，得，即， ② 把①代入②得.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.24. 如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.（1）若弧BC的中点为D，求证：平面；（2）如果的面积是9，求此圆锥的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明即可；（2）由条件可得，，然后由的面积是9求出，然后可算出答案.【详解】（1）　∵是底面圆的直径，∴∵弧的中点为，∴又，共面，∴又平面，平面，∴平面（2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为，∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，∴，由，得∴圆锥的表面积【点睛】本题考查的是线面平行的证明和圆锥表面积的求法，考查了学生的逻辑推理能力和计算能力，属于基础题.25. 已知f(x)＝ln是奇函数.（1）求m；（2）判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明.【答案】（1）－1；    （2）在(1，＋∞)上单调递减，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据奇函数即可求出m；(2)用定义法即可证明f(x)在(1，＋∞)上的单调性﹒【小问1详解】.是奇函数,,即,得,；【小问2详解】在上单调递减.证明:由(1)知.任取满足,,由知,,,即,又为增函数,,即在上是减函数.