2022年6月浙江省高二学业水平适应性考试数学试题含解析

2022年6月浙江省高二学业水平适应性考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接求交集即可.

【详解】由题意中的条件有.

故选：C

2．复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四像限

【答案】B

【分析】由复数运算可求得，根据其对应点的坐标可得结果.

【详解】，对应的复平面内的点为，位于第二象限.

故选：B.

3．函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由奇偶性可排除D；由幂函数性质可排除AC，由此可得结果.

【详解】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；

，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.

故选：B.

4．命题“”的否定为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由全称命题的否定判断

【详解】命题“”的否定为“”

故选：D

5．已知向量，若，则（       ）

A． B．20 C． D．

【答案】A

【分析】先根据向量的平行求得的值，再求模即可.

【详解】，

.

故选：A．

6．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，这三面要征调人，而北面共征调人（用分层抽样的方法），则北面共有（       ）人．”

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由分层抽样原则可直接构造方程求得结果.

【详解】设北面有人，则，解得：.

故选：A.

7．，则的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【详解】解：

,

故选：C

8．设，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（       ）

①，，则；

②，，，则；

③，，，则；

④，，，则.

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

【答案】D

【分析】根据线面平行和面面平行的性质可判断①②；

根据线面垂直和面面垂直的性质可判断③④，由此可得选项.

【详解】解：①若，，则或，故①错误；

②若，，，则或与异面，故②错误；

③若，，则或，又，则，故③正确；

④若，，则，又，，可得，故④正确.

故选：D.

9．某校高二年级开展数学测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计．将所得成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．则第80百分位数约为（       ）

A． B． C．85 D．90

【答案】B

【分析】先利用各矩形的面积之和为1，求得m，再利用第80百分位数的定义求解.

【详解】解：因为，

所以，

设第80百分位数为x，

则，

解得，

故选：B

10．在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（       ）

\

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标运算可表示出，结合范围可求得的取值范围.

【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，设，，，

，

，，即的取值范围为.

故选：B.

11．下列说法正确的是（       ）

A．已知为非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的充要条件

B．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台

C．某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的方差

D．在中，是的充要条件

【答案】D

【分析】根据数量积的正负与夹角的关系可判断A，根据圆台以及圆锥的特征可判断B，根据方差的计算公式即可判断C，在三角形中根据大角对大边的关系以及正弦定理即可判断D.

【详解】解：对于选项A：当时，与的夹角可能为钝角，也可能为，故A不正确；

对于选项B：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，

不用平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不可能得到一个圆锥和一个圆台，故B不正确；

对于选项,

，故C不正确；

法二：

对于选项：在中，，

所以是的充要条件，故D正确．

故选：D

12．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解直角三形再结合正弦定理可求解.

【详解】在Rt中，，所以．

在中，，从而，

由正弦定理得，，因此．

在Rt中，

故选：A．

13．如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是（       ）

A．与不垂直

B．三棱锥的体积始终为

C．面

D．与所成角的范围是

【答案】C

【分析】根据线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，结合线面平行的判定定理、异面直线所成角的定义逐一判断即可.

【详解】对于选项，因为平面，平面，

所以，而，平面，

所以平面，而平面，所以，

同理，而平面，

从而平面，而平面，所以，因此本选项说法不正确；

对于选项，因为，平面，平面，

所以面,所以本选项说法不正确；

对于选项，由上可知：面，

因为，平面，平面，

所以面，而平面，

所以平面平面，而平面，

所以面，因此本选项说法正确；

对于选项，当与重合时，与所成角为0，当与重合时，

国为，，

所以与所成角为，所以错误．

故选：C．

14．函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（       ）

A．函数的最小正周期是

B．函数在上单调递减

C．函数的图像向左平移个单位后关于直线对称

D．若圆半径为，则函数的解析式为

【答案】B

【分析】由中心对称得到周期，从而得，由可得，从而可判断A，B，D，结合平移后的解析式可判断C.

【详解】对于A，根据中心对称，可知点的横坐标为，

所以的最小正周期，故A正确；

对于B，由周期可得，又，即，，且，

所以，因此，由，可得，

所以函数在上不单调，故B错误；

对于C，函数的图像向左平移个单位后，得到函数，

对称轴为，即，故关于直线对称，故C正确；

对于D，若圆半径为，则，所以，函数解析式为，故D正确．

故选:B

15．已知正数满足，则取得最小值时的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知等式可得，由可配凑出符合基本不等式的形式，根据基本不等式取等条件可得结果.

【详解】由得：，；

，，，，

（当且仅当，即，时取等号），

取得最小值时，.

故选：A.

二、多选题

16．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（       ）

A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为

C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为

【答案】ACD

【分析】根据题意可知，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是，根据对立事件和相互独立事件的概率计算公式，分别求出各选项中的概率，从而可判断得出答案.

【详解】解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，

则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是，

对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；

对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误；

对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；

对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确.

故选：ACD.

17．若函数在区间上单调递增，则下列实数可以作为值的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】设，由复合函数单调性可确定单调性和在上恒成立，结合二次函数性质可构造不等式组求得的范围，结合选项可得结果.

【详解】设，要使在区间上单调递增，

则需在上单调递增，且在上恒成立，

，解得：，则选项中可以作为的值的是和.

故选：CD.

18．若关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则的值可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】法一：根据不等式与不等式为对偶不等式，由求解；法二：由题意得到不等式与不等式同解，由求解.

【详解】解：法一：

不等式与不等式为对偶不等式，

设不等式的对应方程两个根为，

则不等式对应方程两个根为，

，

，

法二：

设不等式的对应方程两个根为，则，

同号，不等式对应方程两个根为，

不等式解集为的解集为

不等式与不等式同解，

，以下同法一．

故选：AD

三、填空题

19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则__________．

【答案】

【分析】根据奇函数利用求出，再由奇函数知即可得解.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，

所以，即，解得.

所以.

故答案为：

20．若复数（为虚数单位），则__________．

【答案】0.4

【分析】由复数的运算法则与模的定义求解

【详解】．

故答案为：

21．甲､乙两人进行羽毛球单打比赛，假定甲每局获胜的概率都是，且每局比赛结果互不影响，则在三局两胜制的比赛中，甲获胜的概率为__________．

【答案】

【分析】根据比分为与分类讨论后相加

【详解】甲获胜的概率为，

甲获胜时，第三局必为甲胜，，

故，

故答案为：

22．已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为__________．

【答案】

【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解

【详解】，

，

由题意得

故答案为：

四、解答题

23．已知函数，若__________．

条件①：，且在时的最大值为；

条件②：．

请写出你选择的条件，并求函数在区间上的最大值和最小值．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】选①或选②结论相同，最大值为0；最小值为．

【分析】(1)根据二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式可得(其中)，选条件①或②都算出，结合正弦函数的单调性即可求出结果.

【详解】

，其中，

若选①，，解得，得，

所以，

由，得，

当时，，

当时，；

若选②，，得，

所以，

由，得，

当时，，

当时，.

24．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，点是棱上的一点．

(1)若，求证：平面；

(2)若是的中点，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于，连接，则可得∽，得，再结合已知可得，则∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）过作于，过作于，连接，可得是二面角的平面角，从而可求得结果

【详解】(1)证明：连接交于，连接，

因为∥

所以∽，

所以，

因为，

所以,

所以∥,

因为平面平面

所以∥平面

(2)过作于，

因为平面，平面，

所以平面平面，

因为平面平面，

所以平面，

因为平面，所以

过作于，连接，

因为，所以平面，

因为平面，

所以

所以是二面角的平面角，

不妨设，则，

因为，所以，

所以，所以，

所以，

所以，

所以

25．已知函数，（是实数）

(1)若，求关于的方程的解；

(2)若关于的方程有三个不同的正实数根且，求证：

①；

②

【答案】(1)；

(2)①证明见解析；②证明见解析.

【分析】（1）由，分，求解；，

（2）由，易知时，在上单调递增，得到且，然后由是方程和是方程的根求解.

【详解】(1)解：，

当时，则或（舍）；

当时，则无实数解，

.

(2)，

若，则在上单调递增，题设方程不可能存在3个不同正实根，

且，满足题设，

，

是方程，即的两个根，

是方程，即的较大根，

且在区间上单调递减．

①；

②是关于的递增函数，

，

不等式成立.