2021-2022学年北京市普通高中高二第二次学业水平合格性考试数学试题含解析

2021-2022学年北京市普通高中高二第二次学业水平合格性考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合运算求解即可.

【详解】.

故选：D.

2．已知向量，那么（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量的坐标运算即可求解.

【详解】，

故选：A

3．《北京2022年冬奥会——冰上运动》纪念邮票一套共有5枚，邮票图案名称分别为：短道速滑、花样滑冰、速度滑冰、冰壶、冰球.小冬买了一套该种纪念邮票，准备随机送给小冰等5位同学，每人1枚，则小冰收到邮票的图案名称是短道速滑的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意，任何一位同学收到短道速滑图案的邮票概率都为，

故选：C

4．已知是定义在R上的偶函数，若，则（        ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】直接利用偶函数的性质求解即可.

【详解】因为是定义在R上的偶函数且，

所以，

故选：C.

5．某田径队有运动员100人，其中男运动员60人，女运动员40人.为了解田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为20的样本，那么应抽取男运动员的人数为（          ）

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】B

【分析】利用分层抽样的公式直接求解.

【详解】解：由题得应抽取男运动员的人数为.

故选：B

6．若复数，则（          ）

A．3 B．4 C．5 D．7

【答案】C

【分析】直接根据复数的模的计算公式计算即可的出答案.

【详解】因为，所以.

故选：C.

7．如图，在三棱锥中，，则三棱锥的体积为（       ）

A．1 B．2 C．6 D．12

【答案】B

【分析】直接根据棱锥的体积公式求解即可.

【详解】解：因为，所以即为三棱锥高，

所以.

故选：B.

8．不等式的解集是（       ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；

【详解】解：由，解得，即原不等式的解集为；

故选：A

9．在复平面内，复数对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】直接利用复数的几何意义求解.

【详解】解：在复平面内，复数对应的点为，在第二象限.

故选：B

10．（       ）

A．-1 B．0 C．1 D．3

【答案】C

【分析】直接利用指数幂和对数运算化简求值.

【详解】解：.

故选：C

11．函数与的图象（       ）

A．关于轴对称 B．关于轴对称

C．关于原点对称 D．关于直线对称

【答案】B

【分析】设点在函数图象上，证明关于轴对称的点在函数的图象上.

【详解】解：设点在函数图象上，则，

则关于轴对称的点满足，

所以点在函数的图象上.

故选：B

12．下列函数中，在区间上单调递增的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别判断每一个选项的函数的单调性得解.

【详解】解：选项ABC中的函数在区间上单调递减，选项D中的函数在区间上单调递增.

故选：D

13．已知，则的最小值是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】利用基本不等式即得.

【详解】根据题意，，则，

当且仅当，即时等号成立，即的最小值是4；

故选：D.

14．掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件 “点数为奇数”，事件 “点数大于4”，则事件（       ）

A．“点数为3” B．“点数为4”

C．“点数为5” D．“点数为6”

【答案】C

【分析】根据题意分别列举事件，再利用交事件即可得解.

【详解】由题意，可知，，

即事件“点数为5”

故选：C

15．如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用相等向量的定义判断选项AB，利用平面向量的三角形法则判断CD．

【详解】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；

对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；

对于C，利用三角形法则知，故C错误；

对于D，利用三角形法则知，故D正确；

故选：D

16．已知函数，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据分段函数解析式计算可得；

【详解】解：因为，所以

故选：D

17．在中，那么（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【分析】直接利用余弦定理求解.

【详解】解：由余弦定理得.

故选：A

18．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，那么（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】根据数量积的坐标运算进行求解.

【详解】解：建立如图所示的直角坐标系

由题意可知，，

，

故选：B

19．设，则“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用定义法判断即可.

【详解】当时，，充分性成立；反过来，当时，则，不一定有，

故必要性不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，本题采用的是定义法，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.

20．某停车场的停车收费标准如下表所示：

李明驾驶家用小轿车于17:30进入该停车场，并于当天21:10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（       ）A．13.5元              B．18.5元              C．20元              D．27.5元

【答案】B

【分析】根据题意得：为白天，为夜间，由表格列出算式，计算即可得到结果．

【详解】解：根据题意得：

（元，

则李明应缴纳的停车费为18.5元．

故选：B．

二、填空题

21．已知函数，则的定义域是____________.

【答案】

【分析】根据偶数次方根号里的数大于等于零即可得出答案.

【详解】解：由函数，得，

所以的定义域是.

故答案为：.

22．计算____________.

【答案】

【分析】逆用正弦的和角公式进行计算.

【详解】

故答案为：

23．如图，在正方体中，E是的中点.给出下列三个结论：

①；

②；

③线段的长度大于线段的长度.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①②③

【分析】连接，可判断①；连接、可判断②，通过计算可判断③.

【详解】连接、 、，并设正方体的棱长为.

对于①，由于，可知平面，①正确；

对于②，由于，又是的中点，易知，②正确；

对于③，、、是正方体的面对角线，可知，

因此是等边三角形，而是等边三角形边上的高线，因此，③正确.

故答案为：①②③

24．阅读下面题目及其解答过程.

已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.

（1）求实数的取值范围；

（2）用含有的代数式表示.

解：（1）因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

所以     ①     .

解得   ②      .

所以的取值范围是.

（2）不妨设，则，，

所以    ③    ，   ④    .

所以    ⑤      

以上题目的解答过程中，设置了五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）.

【答案】答案见解析

【分析】根据二次方程的判别式及根与系数关系分别判断.

【详解】由二次方程的判别式公式直接可得，即①选B；

解不等式即可解得或，即②B；

由二次方程根与系数关系关系可知，，即③选A，④选A；

进而可得，即⑤选B；

故答案为：B，B，A，A，B.

三、双空题

25．已知向量，且，则实数____________；____________.

【答案】     2     4

【分析】（1）解方程得解；（2）利用数量积的公式求解.

【详解】解：（1）由题得；

（2）.

故答案为：2；4.

四、解答题

26．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)求在区间[]上的最大值及相应的值.

【答案】(1)

(2)1，

【分析】（1）直接根据正弦函数的周期公式计算可得；

（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；

(1)

解：因为，所以函数的最小正周期；

(2)

解：因为，所以，所以，当且仅当，即时函数取得最大值；

27．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证得；

（2）利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证得.

(1)

由底面是正方形，

又平面，平面，平面

(2)

平面，平面，

又底面是正方形，

又，平面，平面

28．已知函数与.

(1)若与有相同的零点，求的值；

(2)若对恒成立，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的零点，将其代入，即可求出的值；

（2）令，由对恒成立，令，可解出，再检验时，对恒成立.

(1)

令，即，

所以，故，解得；

(2)

令，

因为对恒成立，

所以，则，

当时，

，

当时，，所以，

所以实数的最小值是.