2021-2022学年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考试数学试题含解析

2021-2022学年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合交集的定义即可求解.

【详解】解：因为集合，

所以，

故选：A.

2．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（       ）

A．球 B．圆锥 C．圆台 D．圆柱

【答案】D

【分析】由几何体的三视图可得该几何体为圆柱，从而即可得答案.

【详解】解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是球、圆锥、圆台，故选项A、B、C错误，

因此该几何体为圆柱，即选项D正确，

故选：D.

3．直线的倾斜角是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，从而求出倾斜角

【详解】因为：，所以：k=

由于：，则，即：=

故选：B.

【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系

4．函数的定义域是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据真数大于零，即可解出．

【详解】由解得：．

故选：B．

5．随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出点数向上的结果数和向上的点数为奇数的结果数，由古典概率可得答案.

【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种

所以出现向上的点数为奇数的概率是

故选：C

6．等差数列中，若，公差，则（       ）

A．10 B．12 C．14 D．22

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.

【详解】由等差数列的性质可知： ；

故选：B.

7．已知函数则（       ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数的定义即可求解.

【详解】解：因为，所以，

所以，

故选：C.

8．已知，且为第一象限角，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出．

【详解】因为为第一象限角，，所以．

故选：A．

9．函数的零点所在的区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数零点存在定理即可判断.

【详解】解：因为为上的增函数，又，，

所以函数的零点所在的区间是，

故选：B.

10．函数的最小正周期是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案.

【详解】解：由函数，

则最小正周期.

故选：B.

11．如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（       ）

A．平面

B．平面

C．

D．

【答案】A

【分析】对A：由平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断；

对B：若平面，则，这与和不垂直相矛盾，从而即可判断；

对C、D：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由与不是共线向量，且，从而即可判断.

【详解】解：对A：由长方体的性质有平面平面，又平面，所以平面，故选项A正确；

对B：因为为棱的中点，且，所以与不垂直，

所以若平面，则，这与和不垂直相矛盾，故选项B错误；

对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，

所以，，

因为与不是共线向量，且，

所以与不平行，且与不垂直，故选项C、D错误.

故选：A.

12．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性以及值域即可解出．

【详解】因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C；又当时，，当且仅当时取等号，所以排除B，D．

故选：A．

13．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（       ）

A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

【分析】由三角函数图象变换求解

【详解】要得到函数，

需把函数的向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，

故选：C

14．已知测的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】运用对数的性质直接判断即可.

【详解】 ，     ， ，

；

故选：D.

15．下列各组向量中，可以用来表示向量的是（       ）

A．

B．

C．，

D．

【答案】D

【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项分析即可.

【详解】对于A， 是零向量，不可以；

对于B， ，是平行向量，不可以；

对于C， ，是平行向量，不可以；

对于D，不存在实数 使得 成立，是一组不平行的非零向量，可以；

故选：D.

二、填空题

16．数列的前几项和为，且，则，__________．

【答案】15

【分析】按照等比数列写出通项公式和求和公式计算即可.

【详解】 ，∴ 是首项为1，公比为2的等比数列，

故答案为15.

17．的内角所对的边分别为，且，则__________．

【答案】

【分析】直接运用正弦定理计算即可.

【详解】由正弦定理得： ；

故答案为： .

18．已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________．

【答案】

【分析】直接用数量积的定义求夹角即可.

【详解】依题意， ，∴ 与 的夹角为 ；

故答案为： .

19．一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数与所用时间（分钟）的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程．据此可预测加工200个零件所用的时间约为__________分钟．

【答案】189

【分析】根据回归方程即可求解.

【详解】解：因为回归方程，

所以当时，，

所以可预测加工200个零件所用的时间约为189分钟，

故答案为：189.

20．某工厂要建造一个容积为的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为__________．

【答案】3

【分析】写出底边长和高的关系式，运用基本不等式运算即可.

【详解】由题意，设底面另一边长为x，高为y，则有 ，

总造价为

，当且仅当x=y=3时等号成立，

故答案为：3.

三、解答题

21．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)-7

【分析】先求出 和 ，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可.

【详解】(1)由题意，， ；

(2) ；

综上， .

22．某校高三年级共有学生1000名．该校为调查高三学生的某项体育技能水平，从中随机抽取了100名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6组：，整理得到频率分布直方图，如图．

(1)若，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；

(2)如果所抽取的100名学生中成绩分布在区间内的有8人，估计该校高三学生这项体育技能成绩低于60分的人数．

【答案】(1)80.4

(2)20

【分析】（1）根据直方图所给出的数据求平均数即可；

（2）根据直方图面积等于1，求出a，再将频率作为概率计算即可.

【详解】(1)由直方图可知：平均成绩 ，

即平均成绩为80.4；

(2)由于在 内有8人， ，∴a=0.001，

低于60分的人数约为 人；

综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.

23．如图，在三棱锥中，平面平面

(1)求证：PA；

(2)若，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，从而即可得证PA；

（2）由三棱锥的体积即可求解.

【详解】(1)证明：因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又平面，

所以PA；

(2)解：由（1）知平面，所以，

又，所以，

因为，所以，

所以，

所以，

所以三棱锥的体积.

24．已知函数．

(1)从中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论；

(2)若函数有零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)若选，则为奇函数；若选，则为偶函数.

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解；

（2）将原问题等价转化为方程有解，求出的值域即可得答案.

【详解】(1)解：若选，则为奇函数，证明如下：因为且定义域为R，所以为奇函数；

若选，则为偶函数，证明如下：因为且定义域为R，所以为偶函数；

(2)解：因为函数有零点，

所以方程，即有解，

因为，所以，，所以，

所以，即实数的取值范围.

25．已知圆过点，且圆心在直线上．P是圆外的点，过点的直线交圆于两点．

(1)求圆的方程；

(2)若点的坐标为，求证：无论的位置如何变化恒为定值；

(3)对于（2）中的定值，使恒为该定值的点是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点的集合（不必证明）．

【答案】(1)

(2)4

(3)不唯一， .

【分析】（1）联立AB垂直平分线方程与y=-x，求得圆心和半径即可；

（2）设过P点的直线方程，与圆C方程联立，按照两点距离公式计算即可；

（3）设点P的坐标和过点P的直线方程，与圆C的方程联立，再用两点距离公式计算即可.

【详解】(1)B两点的中点为 ，斜率为 ， AB垂直平分线的斜率为1，

垂直平分线的方程为：y=x，

联立方程 ，解得x=0，y=0， 圆心为（0,0），半径为 ，

圆C的方程为： ；

(2)如图：

若MN斜率不存在，则 ， ， ；

若MN斜率存在，设为k，则MN直线方程为y=kx-3，联立方程： ，

解得： ，

设 ，则 ，

，

，

即不论MN斜率是否存在 ，为定值4；

(3)不妨设P（a,b），当MN斜率不存在时，联立方程： ，

解得： ， ；

若MN斜率存在，设为k，则直线MN的方程为 ，

联立方程： ，解得： ，

，

，

即不论P点在何处，MN的斜率是否存在， ，为定值；

综上，圆C的方程为， ，P点不唯一，其集合为 .