2019-2020学年福建省普通高中高二6月学业水平合格性考试数学试题含解析

2019-2020学年福建省普通高中高二6月学业水平合格性考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出两个集合的交集即可.

【详解】

故选：C

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于容易题目.

2．如图是某圆锥的三视图，则该圆锥底面圆的半径长是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】A

【解析】通过俯视图可以直接得出结论.

【详解】

通过俯视图，可以判断出直径为2，则半径为1.

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图的相关知识点，属于简单题.

3．若三个数1，3，成等比数列，则实数（    ）

A．1 B．3 C．5 D．9

【答案】D

【解析】根据等比数列的性质可知，计算结果.

【详解】

1，3，成等比数列，

，解得：.

故选：D

【点睛】

本题考查等比数列的性质，属于基础题型.

4．一组数据3，4，4，4，5，6的众数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】根据众数的定义，直接求众数.

【详解】

众数是一组数据中出现次数最多的数据，4出现了3次，是出现最多的数字，

所以这组数据中的众数是4.

故选：B

【点睛】

本题考查众数，属于基础题型.

5．如图，在正方形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】利用几何概型的概率公式可知，黄豆落到阴影部分的概率为三角形的面积与正方形的面积之比．

【详解】

由图象可知，阴影部分面积占了正方形面积的四分之一，

由几何概型的概率公式可得：，

故选：A

【点睛】

本题考查了几何概型概率的求法，只要正确的选择事件的测度（长度，面积，体积），利用测度比求概率即可，属于基础题．

6．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用余弦函数的性质可得函数的最小正周期．

【详解】

函数的最小正周期为：

故选：D

【点睛】

本题考查余弦函数的性质，考查学生逻辑推理能力，属于基础题．

7．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若函数有意义，则分母不为，可得函数的定义域．

【详解】

，

故选：C

【点睛】

本题考查具体函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．

8．不等式表示的平面区域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】画出直线，利用特殊点确定出不等式表示的平面区域即可．

【详解】

取点代入不等式，可得，即在平面区域内，阴影部分应为直线的左下方，

故选：A

【点睛】

本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．

9．已知直线：，：，若，则实数（    ）

A．－2 B．－1 C．0 D．1

【答案】D

【解析】两直线平行，则斜率相等求解.

【详解】

已知直线：，：，

因为，

所以

故选：D

【点睛】

本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.

10．化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据向量加减法直接计算.

【详解】

.

故选：C

【点睛】

本题考查向量加减运算，属于基础题型.

11．不等式的解集是（    ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】B

【解析】根据一元二次不等式的解法求得结果.

【详解】

不等式得，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，属基础题.

12．化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】切化弦后利用诱导公式变形，然后再弦化切得出结论．

【详解】

，

故选：D．

【点睛】

本题考查诱导公式，实际上利用同角间的三角函数关系式可得正切的诱导公式：，，．

13．下列函数中，在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据解析式的特征，区分函数类型，直接判断函数的单调性.

【详解】

A.在上单调递增，所以不正确；

B.在上单调递减，所以正确；

C.是开口向上的抛物线，对称轴是，所以在单调递增，故不正确；

D.中，，所以函数在上单调递增，故不正确.

故选：B

【点睛】

本题考查判断函数单调性，属于基础题型.

14．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用指数函数单调性判a,b,利用对数单调性判断c

【详解】

单调递增，故，

故

故选：C

【点睛】

本题考查指数函数与对数函数的单调性，比较大小经常与中间值0作比较，是基础题

15．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用分段函数的解析式结合函数图象逐一检验即可．

【详解】

由题意，当，即时，，排除选项B；

当时，，排除C和D；

故选：A

【点睛】

本题考查函数图象的应用，考查分段函数，考查学生数形结合能力，属于基础题．

二、填空题

16．已知向量，则______．

【答案】

【解析】利用平面向量的坐标数乘公式计算得出答案．

【详解】

，

故答案为：

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查学生计算能力，属于基础题．

17．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入的的值为－4，则输出相应的的值是______．

【答案】－4

【解析】根据程序框图的运行过程，可得出该程序运行后输出的值．

【详解】

输入的的值为－4,

，输出的值为－4，

故答案为：－4

【点睛】

本题主要考查了程序框图和算法，按题意正确写出得到的的值是解题的关键，属于基础题．

18．函数的零点个数为______．

【答案】2

【解析】函数的零点个数就是对应方程的实数根的个数，直接解方程求解.

【详解】

令，解得：或，

函数的零点个数就是方程的实数根的个数，

所以函数的零点有2个.

故答案为：2

【点睛】

本题考查函数零点个数，属于基础题型.

19．在△ABC中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC＝     .

【答案】

【解析】.

20．函数y=x+，x＞0的最小值是_____．

【答案】2

【解析】由题意，注意到两项的积为定值，且为正数，利用基本不等式，即可求得函数的最小值．

【详解】

由题意，因为，所以y=x+，当且仅当x=1 取等号．

故函数y=x+，x＞0的最小值是2．

故答案为2．

【点睛】

本题主要考查了函数的最值问题，以及基本不等式的应用，其中解答中注意到两项的积为定值，且为正数，利用基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

三、解答题

21．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，在的终边上任取点，它与原点的距离，定义：，，．如图，为角终边上一点．

（1）求，的值；

（2）求的值．

【答案】（1），；（2）1．

【解析】（1）由题意可知，根据三角函数的定义，直接计算结果；

（2）根据两角和的正弦公式展开，根据（1）的结果代入求值.

【详解】

解：（1）依题意：，

所以，．

（2）由（1）知

．

【点睛】

本题考查三角函数定义的简单应用，两角和的正弦公式，属于基础题型.

22．如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，．

（1）求四棱锥的体积；

（2）若分别是棱的中点，则与平面的位置关系是______，在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由．

①平面；

②平面；

③与平面相交．

【答案】（1）4；（2）②，理由见解析．

【解析】（1）根据四棱锥体积公式直接计算；

（2）首先判断平面，要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，．根据条件证明四边形是平行四边形.

【详解】

（1）因为平面，

所以．

（2）②，理由如下：

取的中点，连接，．

因为分别为，的中点，

所以，．

因为为的中点，所以，

又矩形中，，且，

所以，且，所以四边形是平行四边形．

所以．又平面，平面，

所以平面．

【点睛】

本题考查证明线面平行，几何体的体积，重点考查逻辑推理，空间想象能力，计算能力，属于基础题型.

23．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．

（1）求第六排的座位数；

（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？

（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多）

【答案】（1）19；（2）95．

【解析】（1）构造等差数列，写出首项及公差，利用等差数列通项公式求得结果；

（2）构造等差数列，利用等差数列求和求得结果.

【详解】

解：（1）依题意，得每排的座位数会构成等差数列，其中首项，公差，

所以第六排的座位数．

（2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，

第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列，

首项，公差，所以数列前10项和．

故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列求和，属中档题.

24．已知圆的方程为．

（1）写出圆心的坐标与半径长；

（2）若直线过点，试判断与圆的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）圆心的坐标为，半径长；（2）相交，理由见解析．

【解析】（1）根据圆的标准方程写出圆心与半径；

（2）先设出直线方程，和圆的方程联立，利用韦达定理判断出结论.

【详解】

解：（1）圆心的坐标为，半径长．

（2）当直线垂直于轴时，直线方程为，与圆有2个交点；

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，

将代入整理，得，

因为，且恒成立，所以直线与圆相交．

综上所述，直线与圆相交．

【点睛】

本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，属基础题.

25．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到零件数（单位：件）与加工时间（单位：小时）的部分数据，整理如下表：

根据表中的数据：

（1）求和的值；

（2）画出散点图；

（3）求回归方程；并预测，加工100件零件所需要的时间是多少？

【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】（1）根据表格中的合计数据可得所求值.

（2）根据表格中的数据可直接画出散点图.

（3）由表格中数据计算，，得到样本中心点，由公式计算出，将样本中心点代入直线方程可求得，从而得到回归方程，将代入回归方程中可得所需时间.

【详解】

（1）依题意可得：，．

（2）散点图如图：

（3）由表格数据计算得，．

，

，

所求的回归方程为：．

当时，（小时）．

所以加工100件零件所需要的时间约为121.9小时．

【点睛】

本题考查散点图，考查线性回归方程的求法和应用，属于基础题.