2019-2020学年贵州省高二12月普通高中学业水平考试数学试题含解析

2019-2020学年贵州省高二12月普通高中学业水平考试数学试题

一、单选题

1．已知，则A∩B=（    ）

A．  B． C． D．

【答案】A

【解析】根据集合的交集的概念及运算，可得，得到答案.

【详解】

由题意，集合，

根据集合的交集的概念及运算，可得.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了集合表示，以及集合的交集的概念及运算，其中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，属于容易题.

2．在等差数列中，，公差，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【解析】根据等差数列的通项公式可得答案.

【详解】

.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题.

3．已知向量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用向量加法坐标运算公式直接计算即可.

【详解】

解：根据向量加法坐标运算公式得:.

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量加法的坐标运算，属于基础题.

4．某班有男生20人，女生25人，用分层抽样的方法从该班抽取9人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】先求出女生所占的比例，再求出应抽取的女生人数得解.

【详解】

由题得女生所占的比例为，

所以用分层抽样的方法从该班抽取9人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

5．如图所示茎叶图的数据中，众数是（    ）

A．18 B．23 C．25 D．31

【答案】C

【解析】根据茎叶图得到10个数据，再根据众数的概念可得答案.

【详解】

根据茎叶图可得10个数据为：15，18，23，23，25，25，25，31，34，36.

因为数据25的个数最多，所以根据众数的概念可知，众数为25.

故选：C.

【点睛】

本题考查了由茎叶图求众数，考查了众数的概念，属于基础题.

6．函数的定义域是（    ）

A． B． C．R D．

【答案】D

【解析】由，即可得出定义域.

【详解】

即函数的定义域为

故选：D

【点睛】

本题主要考查了求具体函数的定义域，属于基础题.

7．已知等比数列的前n项和为，，公比，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】由题意，即求.

【详解】

是等比数列，，公比，

.

故选：.

【点睛】

本题考查等比数列求和，属于基础题.

8．如图，将一个圆八等分，在圆内任取一点P，则点P取自阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据几何概型概率公式求解，测度为面积.

【详解】

设圆面积为1，则阴影部分的面积为

所以在圆内任取一点P，点P取自阴影部分的概率为

故选：B

【点睛】

本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．若向量，若，则（    ）

A．4 B．2 C．1 D．1

【答案】A

【解析】根据平面向量的共线条件，列出方程，即可求解.

【详解】

由题意，向量，

因为，可得，解得.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标表示，以及平面向量的共线条件的坐标表示，着重考查运算与求解能力，属于基础题.

10．的值是（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【解析】由，即可得出答案.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题主要考查了求特殊角的三角函数值，属于基础题.

11．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出l的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直接按照流程图计算可得答案.

【详解】

因为，，则.

故选：A.

【点睛】

本题考查了程序框图，属于基础题.

12．下列函数中，在上为减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据基本初等函数的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】

由对数函数的性质，可得函数在为单调递增函数，不符合题意；

由幂函数的性质，可得函数在为单调递减函数，符合题意；

由指数函数的性质，可得函数在为单调递增函数，不符合题意；

由一次函数的性质，可得函数在为单调递增函数，不符合题意。

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了基本初等函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.

13．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用分段函数的解析式求解即可.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题.

14．△ABC三内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则（    ）

A．120° B．90° C．60° D．30°

【答案】B

【解析】根据余弦定理求解即可.

【详解】

，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了余弦定理解三角形，属于基础题.

15．不等式表示的区域是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】表示直线左下方部分,所以选C.

16．下列不等关系正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【解析】根据不等式的性质可知选项正确，举特值可得、、不正确.

【详解】

根据不等式的性质可知选项正确；

当时，选项不正确；

当，，，时，选项不正确；

当，，，时，选项不正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，考查了特值排除法，属于基础题.

17．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【解析】根据余弦函数图象平移规律进行求解即可.

【详解】

因为函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到

的图象，所以B选项正确.

故选：B

【点睛】

本题考查了余弦函数图象平移的规律，属于基础题.

18．一个球的俯视图是以2为半径的圆，则这个球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知得球体半径，再利用球体表面积公式直接计算即可.

【详解】

解：由已知得球的半径，所以球的表面积.

故选：D.

【点睛】

本题考查球体的表面积公式，考查基本公式的记忆，属于基础题.

19．过点且与直线垂直的直线l的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据直线垂直，得到所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可求出结果.

【详解】

因为所求直线与直线垂直，

所以其斜率为，

又所求直线过点，

因此，所求直线方程为：，即.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查求与已知直线垂直的直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于基础题型.

20．某同学从家到学校需经过一处红绿灯，某天这位同学骑车上学，一路匀速行驶到红绿灯处正好遇上红灯，停留了90秒，然后加速行驶至学校.在这一过程中，该同学行驶的路程S与时间t的函数图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据这位同学骑车的速度，结合选项，可得答案.

【详解】

这位同学骑车上学，开始时匀速行驶，其图象是过原点的一条斜线；遇上红灯，停留了90秒，

其图象是平行横轴的一条线段；然后加速行驶至学校，其图象是倾斜程度越来越大的曲线.

由选项可知，B符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，属于基础题.

21．从1，2，3，4四个数中任取两个数，则这两个数之和大于5的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】【详解】

从1，2，3，4四个数中任取两个数，

有，共6个基本事件，

其中这两个数之和大于5的基本事件有，共2个基本事件.

由古典概型的概率公式得这两个数之和大于5的概率为.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

22．已知平面上两点A(1,2)，B(3,0)，则线段AB的中点坐标是（    ）

A．(-2,2) B．(2,-2) C．(2,1) D．(3,0)

【答案】C

【解析】利用中点公式可求线段AB的中点坐标.

【详解】

因为A(1,2)，B(3,0)，所以AB的中点坐标为，即.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查中点公式，已知，则其中点为，侧重考查数学运算的核心素养.

23．已知，则的模（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【解析】根据向量模的坐标运算公式，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，向量，可得.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了向量的模的坐标运算，其中解答中熟记向量的模的坐标运算公式是解答的关键，着重考查计算能力，属于容易题.

24．△ABC三内角A，B，C所对边分别是a，b，c.若A=30°，B=60°，a=1，则b=（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】由正弦定理即可求.

【详解】

中，.

由正弦定理，可得.

故选：.

【点睛】

本题考查解三角形，属于基础题.

25．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据诱导公式，直接计算，即可得出结果.

【详解】

由得.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查诱导公式的应用，熟记公式即可，属于基础题.

26．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用周期公式直接得周期.

【详解】

解：根据最小正周期公式得：.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角型函数的周期公式，属于基础题.

27．根据如图所示样本数据的频率分布直方图，估计样本中位数的值为（    ）

A．95 B．85 C．75 D．65

【答案】B

【解析】先根据频率分布直方图求出各区间内的频率，找到频率为0.5处的横坐标即为中位数.

【详解】

根据频率分布直方图可知，自左向右第一个小长方形的面积为0.1，第二个小长方形的面积为0.2，第三个小长方形的面积为0.4，所以中位数一定在区间内，

因为，所以中位数为.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查利用频率分布直方图求解中位数，求解的关键是确定出频率为0.5的横坐标，侧重考查数据分析的核心素养.

28．不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据，先将1移项于左侧，再因式分解，写出解集.

【详解】

因为，

所以，

所以，

解得，

所以不等式的解集是.

故选：D

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

29．已知幂函数的图象过点P(2,4)，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】根据幂函数的解析式，代入点的坐标，即可求解.

【详解】

由题意，幂函数的图象过点P(2,4)，可得，解答.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了幂函数的概念及解析式的应用，考查了计算能力，属于容易题.

30．偶函数在上是增函数，若，则不等式的解集为（    ）

A． B． C．R D．

【答案】D

【解析】根据偶函数和上是增函数可得在上是减函数，结合单调性可求的解集.

【详解】

因为是偶函数，且，所以，

又因为在上是增函数，所以在上是减函数，

当时，是增函数，由可得，即；

当时，是减函数，由可得，即；

综上可得，不等式的解集为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数性质的应用，函数奇偶性和单调性综合的题目，求解的关键是根据给定的部分性质得出整体的性质，侧重考查数学抽象的核心素养.

31．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：由题：终边经过点，得：

【考点】三角函数的定义.

32．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【解析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.

【详解】

连接．

因为为正方体，所以，

则是异面直线和所成角．又,

可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，

故选：C

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.

33．计算的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据两角差的正弦公式，直接计算，即可得出结果.

【详解】

.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查逆用两角差的正弦公式求三角函数值，熟记公式即可，属于基础题.

34．已知函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】把函数有四个不同的零点，等价于函数和的图象有四个不同的交点，作出两个函数的图象，结合图象，即可求解.

【详解】

由题意，函数有四个不同的零点，

等价于函数和的图象有四个不同的交点，

作出函数的图象，

如图所示，

要使得函数和的图象有四个不同的交点，

则，即实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点的个数，准确作出函数的图象是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用.

35．已知数列前n项和(，为常数).当的最小值为时，的值是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【解析】先根据和项求通项，并化简为，再根据1的代换，利用基本不等式求最值，最后根据最小值求的值.注意确定等于号取法.

【详解】

当时

，

当且仅当时取等号

因为的最小值为，所以，此时

故选：A

【点睛】

本题考查由和项求通项、利用基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属较难题.

二、填空题

36．已知等比数列中，，公比，则__________.

【答案】

【解析】根据等比数列的通项公式，即可求解.

【详解】

由题意，等比数列中，，公比，则.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算问题，考查了计算能力，属于容易题.

37．已知向量，则__________.

【答案】11

【解析】根据向量数量积的坐标表示，即得答案.

【详解】

，

.

故答案为：11.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.

38．已知直线，若，则实数__________.

【答案】3

【解析】由题意求出直线的斜率.若，则直线的斜率存在，且，即求实数.

【详解】

由题意直线的斜率.

，直线的方程为，直线的斜率.

，即.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查两条直线的位置关系，属于基础题,

39．已知在上恒成立，则实数的最大值是__________.

【答案】2

【解析】由指数函数的性质，求得最小值为2，再由在上恒成立，即可求解.

【详解】

由指数函数的性质，可得在为单调递增函数，所以，

可得，即最小值为2，

又由在上恒成立，所以，

即实数的最大值2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用指数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

40．在△ABC中，D为边AB的中点，，，，则△ABC的面积为__________.

【答案】

【解析】在中，利用余弦定理可求，然后可得，结合三角形的面积公式可求△ABC的面积.

【详解】

在中，由余弦定理可得，

解得或（舍），所以，

因为，所以；

所以△ABC的面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查余弦定理求解三角形及三角形的面积，熟用三角形的面积公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

三、解答题

41．已知函数.

（1）求和的值；

（2）若的最小值为，求实数的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）根据函数解析式，直接代入，即可求出结果；

（2）根据二次函数的性质，结合题意，得到，求解，即可得出结果.

【详解】

（1）因为，

所以，；

（2）因为是开口向上，以为对称轴的二次函数，

又的最小值为，

所以，解得：.

【点睛】

本题主要考查由解析式求函数值，以及由二次函数的最值求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于基础题.

42．如图，在三棱锥中，是的中点，，，，.

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】（1）先由题意，证明，；根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先由题意，求出，得到，求出的面积，再由棱锥的体积公式，即可求出结果.

【详解】

（1）因为是的中点，，所以；

又，，，所以，因此；

又，平面，平面；

所以平面；

（2）因为是的中点，所以，

因此，

又，，

所以，

即，因此，

所以，

因此三棱锥的体积为.

【点睛】

本题主要考查证明线面垂直，以及求三棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及棱锥的体积公式即可，属于常考题型.

43．已知直线l过点且斜率为，直线l被以原点O为圆心的圆截得的弦长为2.

（1）求圆的方程；

（2）设点，点为圆O上一点，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由点到直线的距离公式以及圆的弦长公式，求解即可；

（2）由两点间距离公式以及圆的方程得出，利用换元法以及定义证明函数的单调性，从而得出其最小值.

【详解】

（1）设圆的方程为

由题意可知，直线l的方程为，即

圆心到直线的距离

则

（2）点为圆O上一点，

令，，则

设

对于任意的，

当时，

，即

当时，

，即

在上单调递增，在上单调递减

则

即的最小值为

【点睛】

本题主要考查了已知圆的弦长求圆的方程以及根据直线与圆的位置关系求距离的最值，属于中档题.