初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定达标测试

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课  时  练第1单元  正方形的性质与判定 一．选择题（共12小题，满分48分）1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　）A．当AB＝BC时，它是矩形    B．当AC＝BD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形    D．当AC＝BD时，它是正方形2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）A．2 B． C．3 D．3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（　　）A．S＝6 B．S＝8 C．S＝10 D．S与BE长度有关4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　）A．1 B． C． D．25．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD边长为1．则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）A． B． C． D．6．如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（，﹣1） D．（﹣，1）7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　）A．2 B．3 C． D．8．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　）A．10 B．12 C．14 D．16 9．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于（　　）A．135° B．45° C．22.5° D．30°10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，④CF＝BD＝2，其中正确的是（　　）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④11．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH＝BC，③OD＝BF，④∠CHF＝45°．正确结论的个数为（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（　　）A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥二．填空题（共6小题，满分24分）13．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为　   　．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的面积为 　   　．15．已知在正方形ABCD中，AC＝6，点P从点A出发，沿AC方向以每秒个单位的速度向终点C运动，同时，点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，设点Q运动的时间为t（t＞0），当△PQB为等腰三角形时，t的值为　   　．16．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，则BF的长为 　   　．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为 　   　．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为　   　．三．解答题（共6小题，满分48分）19．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．20．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）若正方形ABCD的边长为2，当点H为DE中点时，求CG的长．21．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．22．如图，正方形ABCD的边长为2．以对角线BD为边作菱形BEFD．点C，E，F在同一直线上，求CE的长．23．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：△EAB≌△GAD；（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长．  24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．②CE+CG的值为　   　．
参考答案一．选择题（共12小题，满分48分）1．C2．A3．B4．C5．D6．D7．D8．D9．C10．A11．B12．A二．填空题（共6小题，满分24分）13．105°14．1615．或16．2或1017．4．18．9三．解答题（共6小题，满分48分）19．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在△ADP和△CDP中，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴PA＝PC，∵∠PAE＝∠E，∴PA＝PE，∴PC＝PE；（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，由（1）知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°．20．证明：（1）∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，同理：CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCD＝∠GCE＝90°，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中，∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，∴BH⊥DE；（2）连接BD，∵点H为DE中点，BH⊥DE，∴BH为DE的垂直平分线，∴BE＝BD，∵BC＝CD＝2，∴BD＝，∴BE＝BD＝2，∵CE＝BE﹣BC＝2﹣2，∴CG＝CE＝2﹣2．21．（1）证明：∵正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠BAE+∠OBA＝90°，又∵∠FBC+∠OBA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴BE＝CF；（2）解：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°，故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4；22．解：过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．∵BD∥EF，∴∠ECG＝∠DBC＝45°，∴△ECG是等腰直角三角形，∴EG＝CG，设EG＝x，则BG＝2+x，在Rt△BEG中，BE2＝BG2+EG2，即（2）2＝（2+x）2+x2，即x2+2x﹣2＝0，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），∴EG＝﹣1，∴CE＝EG＝﹣．23．（1）证明：∵四边形ABCD，AGFE是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，∴∠EAB＝∠GAD，在△AEB和△AGD中，，∴△EAB≌△GAD（SAS）；（2）∵△EAB≌△GAD，∴EB＝GD，∵四边形ABCD是正方形，AB＝，∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝6，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝3，∵AG＝3，∴OG＝OA+AG＝6，∴GD＝，∴EB＝．24．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）①CE⊥CG，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠CDA＝∠DCG，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴CE⊥CG；②由①知，△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×＝2，故答案为：2．