初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定一课一练

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定一课一练，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.3 《正方形的性质与判定》习题2 一、选择题1．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为(　　)A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm2．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP．其中，所有正确的结论是(　　)A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是(　　)A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC=BD时，它是矩形 D．当∠ABC=90°时，它是正方形二、填空题1.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠DCP度数是_________．2.如图，为正方形内部一点，且，，，则阴影部分的面积为_______．3.用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的__________． 4.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=6，H是AF的中点，那么CH的长是               ．三、解答题1.已知如图1,四边形是正方形， ．如图1,若点分别在边上,延长线段至,使得,若求的长；如图2，若点分别在边延长线上时，求证： 如图3,如果四边形不是正方形，但满足且，请你直接写出的长．       2.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作于G，延长BG至点F使．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，求AB的长．        3.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，为等边三角形，求的面积．    4.如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN， 连结AM、BD．  (1)AM与BD的关系是：________．    (2)如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．    (3)在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．      5.如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．(1)求证：OE=OF；(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗．如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 6.如图，在一次数学兴趣小组活动中，一位同学用直尺和圆规对矩形进行了如下操作：①作的平分线交于点；②过点作交于点过点作交于点．请你根据操作，观察图形解答下列问题：(1)求证：四边形为正方形；(2)若，求四边形的面积．           7.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF， 则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是         ．(请写出正确结论的番号)．         8.如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．(1)求证：∠HEA=∠CGF；(2)当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．        9.在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.(1)证明：DE=DF；(2)只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形.并证明结论.             10.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝2，CE＝2，求CG的长；        11.如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．       12.如图，正方形ABCD中， AB＝4， 点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．(1)求证：矩形DEFG是正方形．(2)求AG＋AE的值．       13.如图，是等腰三角形，AB=CD，点D是点B关于AC对称的点．(1)如图一，若，请利用尺规作图作点D，连接AD、CD，求证：四边形ABCD是正方形．(保留作图痕迹)(2)如图二，连接AD、CD，四边形ABCD为菱形，点E是BC中点，点O是对角线AC与BD的交点，连接AE，若点O关于线段AE的对称点F在线段AB上，，，求AE的长．                                 答案一、选择题1．D．2．C．3.B．4.D.二、填空题1.22.5°.2.19．3..4.2．三、解答题1.解：(1)证明：如图1所示，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，在ABG和ADF中，∴ABG≌ADF(SAS)，∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°，且∠EAF=45°，∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF，在GAE和FAE中，∴GAE≌FAE(SAS)，∴EF=GE=GB+BE=2+3=5；(2)如下图所示，在DF上取一点G,使得DG=BE, 连接AG，∵四边形ABCD是正方形，故AB=AD，∠ABE=∠ADG=90°，在ABE和ADG中，∴ABE≌ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°，在AEF和AGF中，∴AEF≌AGF(SAS)，∴EF=GF，且DG=BE，∴EF=DF-DG=DF-BE；(3)BE=5，如下图所示，在线段DF上取BE=DG，连接AG，∵∠BAD=∠BCD=90°，故∠ABC+∠ADC=180°，且∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ABE=∠ADC，在ABE和ADG中，∴ABE≌ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°，在AEF和AGF中，∴AEF≌AGF(SAS)，∴EF=GF，设BE=x，则CE=BC+BE =7+x，EF=GF=DC+CF-DG= DC+CF-BE=18-x，在直角三角形ECF中，根据勾股定理：，即：，解得x=5，∴BE=x=5． 2.(1)证明：因为ABCD是正方形所以在三角形BGA中，因为(2)过点C作，因为ABCD是正方形，所以AB=BC，由(1)所以在三角形CHF中，，所以．(3)在三角形CHF中，．3.解：如图所示：
 过P作PE⊥CD于E，PF⊥BC于F，
则PE=FC，∠PEC=∠PFC=90°，
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠BCD=90°，∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，
∴四边形CEPF是矩形，
∴PE=FC，
∵PF⊥BC，
∴BF=FC=BC=，
∴PE=FC=，
由勾股定理得：，
 4.(1)相等且垂直.(1)在正方形ACDE和正方形BCMN中，∵AC=DC，∠ACM=∠DCB=90°，CM=CB，∴△ACM≌△DCB(SAS)，∴AM=BD，∠MAC=∠BDC，∵∠MAC+∠AMC=90°，∴∠MAC+∠DBC=90°，∴AM⊥BD；故答案为相等且垂直；(2)第(1)问中的结论仍然成立，即AM与BD的关系是：相等且垂直；理由如下：如图所示，设AM与CD交于点P，在正方形ACDE和正方形BCMN中，∵AC=DC，∠ACD=∠MCB=90°，CM=CB，∴∠ACD+∠DCM=∠MCB+∠DCM,即∠ACM=∠DCB，∴△ACM≌△DCB(SAS)，∴AM=BD，∠MAC=∠BDC，∵∠MAC+∠APC=90°，∴∠BDC+∠APC =90°，∵∠APC =∠DPM，∴∠BDC+∠DPM =90°，∴AM⊥BD；∴AM与BD的关系是：相等且垂直；(3)如图所示，连接AD、BM，设AM与BD交于点Q，∵AC=4，BC=2，∴AD2=42+42=32，BM2＝22+22＝8，∴，，由(2)可知，AM⊥BD，∴AB2=AQ2+BQ2，DM2=DQ2+MQ2；AD2=AQ2+DQ2，BM2=BQ2+MQ2，∴AB2+DM2＝AQ2+BQ2+DQ2+MQ2，AD2+BM2＝AQ2+DQ2+BQ2+MQ2，∴AB2+DM2＝AD2+BM2=40. 5.解：(1)∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA，又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE∴∠MEA＝∠AFO，∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ∴OE＝OF(2)OE＝OF成立∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE又∵∠MBF＝∠OBE∴∠F＝∠E∴Rt△BOE≌Rt△AOF∴OE＝OF 6.(1)∵四边形ABCD是矩形；，又∵AE平分又∴四边形ABEF是矩形，又∴四边形ABEF是正方形；(2)连接DE，四边形ABEF是正方形，又∴S四边形DHEC= 7.∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，∵AB=EB，∠CBA=∠FBE，BC=BF，∴△ABC≌△EBF(SAS)，选项①正确；∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD，同理可得AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，故答案为①②． 8.解：(1)连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠CGF；(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL)，∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形． 9.解：(1) ∵AB=AC，∠B=∠C ， ∵DE⊥ AB，DF⊥ AC ， ∴∠DEB=∠DFC= 90°，∵D是BC的中点，∴BD=DC ，   ∴△BDE≌△CDF ，∴DE=DF；(2)∠A=90°，∵DE⊥ AB，DF⊥ AC  ，∴∠DEB=∠DFC= 90° ，又∵∠A=90°，∴∠DEB=∠DFC=∠A=90°，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE=DF，∴矩形AEDF是正方形. 10.(1)证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，              在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD(ASA)，∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；(2)如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝4，计算得EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2； 11.(1)证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；(2)当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由(1)得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．12.解：(1)如图，作于，于．∵四边形是正方形，，∵于，于，，∵，四边形是矩形，∵，，，∵，，，∵四边形是矩形，四边形是正方形．(2)∵四边形是正方形，四边形是正方形，，，，，，，． 13.解：(1)如图，即为所作图形，∵点D和点B关于AC对称，∴AB=AD，CB=CD，∵AB=CD，∴AB=AD=CB=CD，∴四边形ABCD是菱形，又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD为正方形；(2)∵点E是BC中点，EF⊥BD，∴EF是△ABC的中位线，即点F为AB中点，∵点F和点O关于AE对称，∴AO=AF，∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，而AE和BO都是△ABC的中线，∴AE=BO，∵，∴AE=BO=．