北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定当堂检测题

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第1单元  正方形的性质与判定

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 如图是以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,则此图形的对称轴有（    ）

A. 条  B. 条

C. 条  D. 条

2. 如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,则点C的坐标是（    ）​​​​​​​

A.    B.

C.    D.

3. 面积为8的正方形的对角线的长是（　　）

A.  B.  C.  D.

4. 如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EGAB,EIAD, FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于（    ）

A.     B.

C.     D.

5. 如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,EFD=.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上的点B'处,则BE的长度为（    ）​​​​​​​

A.     B.

C.    D.

6. 如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,RtFEG的两条直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N,若正方形ABCD的边长为a,则阴影部分即四边形EMCN的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将ADE绕点A顺时针旋转到ABF的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的长为（    ）
8. ​​​​​​​

A.  B.  C.  D.

9. 在四边形ABCD中,A=B=C=,若要使该四边形是正方形,则添加的一个条件可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图,在ABC中,ACB=,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是（    ）​​​​​​​

A.  B.  C.  D.

11. 在菱形ABCD中,若要添加一个条件后,使它是正方形,则添加的条件可以是（    ）

A.  B.

C.  D. 平分

12. 如图,将矩形纸片折叠,使A点落在BC上的F处,折痕为BE.连接EF后展开,若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是（    ）

A. 邻边相等的矩形是正方形

B. 对角线相等的菱形是正方形

C. 两个全等的直角三角形构成正方形

D. 轴对称图形是正方形

13. 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,假设有下列条件:AB=AD;DAB=;AO=CO,BO=DO;四边形ABCD为矩形;四边形ABCD为菱形;四边形ABCD为正方形.则下列推理不成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21分）

14. 如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE.若BAE=,则CEF=          °.
15.  
16.  
17.  

18. 如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是          .
19.  
20.  
21.  

22. 如图，已知正方形ABCD的边长8厘米，正方形DEFG边长5厘米，则三角形ACF的面积是          平方厘米．
23.  
24.  
25.  

26. 如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE的最小值为          .
27.  
28.  

29. 如图,PB=4,点A为动点,PA=,以AB为一边作正方形ABCD,则PD的最大值是          .
30.  
31.  
32.  
33.  

34. ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且ACBD,请添加一个条件:          ,使得ABCD为正方形.
35. 如图,在ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.若使四边形ADCF是正方形,则应在ABC中再添加一个条件是          .​​​​​​​

三、解答题（本大题共6小题，共63分）

36. 已知:如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边BC,CD上的点,且EOF=.求证:CE=DF.
37.  
38.  
39.  
40.  

41. 如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且MAN=.把ADN绕点A顺时针旋转得到ABE.
42.  
43. (1)求证:AEMANM;
44. (2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长.
45.  
46.  
47.  
48.  
49.  
50.  
51.  
52. 如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
53. （1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
54. （2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
55. ①如图2，求证：BE⊥DQ；
56. ②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．

57. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-2,0),B(0,-2),C(2,0),D(0,2),
58.  
59. ​​​​​​​求证:四边形ABCD是正方形.
60.  
61.  
62.  
63.  
64.  
65.  
66.  
67. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如下图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，可证中点四边形EFGH是平行四边形.若我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件，则可使中点四边形EFGH成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下列问题.

（1）当          时，四边形EFGH为菱形；

当          时，四边形EFGH为矩形.

（2）当AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？请回答并证明你的结论.

69. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
70. （1）求证：CF=AD；
71. （2）若CA=CB，∠ACB=90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．
72.  

1.B

2.D

3.D

4.B

5.D

6.D

7.B

8.D

9.C

10.B

11.A

12.C

13.22

14.8

15.72

16.

17.6

18.AC=BD

19.ACB=(答案不唯一)

20.证明:四边形ABCD为正方形,

OD=OC,ODF=OCE=,COD=,

DOF+COF=.

EOF=,即COE+COF=,

COE=DOF.

COEDOF(ASA)

​​​​​​​CE=DF.

21.解：(1)证明:把ADN绕点A顺时针旋转得到ABE,

ADNABE,

DAN=BAE,DN=BE,AN=AE.

由题易知E在CB的延长线上.

DAB=,MAN=,

MAE=BAE+BAM=DAN+BAM=.

MAE=MAN.

又MA=MA,AE=AN,

AEMANM(SAS).

(2)解:设CD=BC=x,则CM=x-3,CN=x-2.

AEMANM,

EM=MN.

BE=DN,

MN=EM=BM+BE=BM+DN=5.

C=,

=+,

即=+.

解得x=6.

​​​​​​​正方形ABCD的边长为6.

22.（1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，

∴∠BCP=∠DCQ，

在△BCP和△DCQ中，

，

∴△BCP≌△DCQ（SAS）；

（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，

∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，

∴∠DEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥DQ；

②∵△BCP为等边三角形，

∴∠BCP=60°，

∴∠PCD=30°，又CP=CD，

∴∠CPD=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，

∴∠EPD=180°-∠CPD-∠CPB=180°-75°-60=45°，

同理：∠EDP=45°，

∴△DEP为等腰直角三角形．

23.证明:由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-2,0),B(0,-2),C(2,0),D(0,2),

可知OA=OB=OC=OD=2,

四边形ABCD为矩形.

​​​​​​​又ACBD,

四边形ABCD是正方形.

24.解：（1）AC=BD  ACBD

（2）当AC=BD且ACBD时，四边形EFGH为正方形.

证明如下：

G，H分别是CD，AD的中点，

GH是ACD的中位线，

GHAC，GH=AC.

同理可得EFAC，EF=AC，EHBD，EH=BD.

GHEF，GH=EF，

四边形EFGH是平行四边形.

AC=BD，ACBD，

EH=GH，EHGH，

四边形EFGH为正方形.

25.（1）证明：∵CF∥AB，

∴∠CFE=∠DAE，∠FCE=∠ADE，

∵E为CD的中点，

∴CE=DE，

在△ECF和△EDA中，

，

∴△ECF≌△EDA（AAS），

∴CF=AD；

（2）解：四边形CDBF为正方形，理由如下：

∵CD是AB边上的中线，

∴AD=BD，

∵CF=AD，

∴CF=BD；

∵CF=BD，CF∥BD，

∴四边形CDBF为平行四边形，

∵CA=CB，CD为AB边上的中线，

∴CD⊥AB，即∠BDC=90°，

∴四边形CDBF为矩形，

∵等腰直角△ABC中，CD为斜边上的中线，

∴CD=AB=BD，

∴四边形CDBF为正方形．