2022年天津市红桥区高中学业水平模拟测试数学试题含解析

2022年天津市红桥区高中学业水平模拟测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知，可根据题意给出的集合和集合，直接求解.

【详解】由已知，集合，，所以.

故选：A.

2．函数，的最小正周期为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直接利用三角函数的周期公式求解即可.

【详解】解：函数，的最小正周期为：.

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.

3．若向量，，则的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量的坐标运算求得结果.

【详解】向量，，则，

故选：B.

4．下列函数中为偶函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的定义，逐一判断即可得解.

【详解】解：对于A，函数为奇函数，故A不符题意；

对于B，函数，

因为，故函数为偶函数，故B符合题意；

对于C，函数，

因为，所以函数为奇函数，故C不符题意；

对于D，函数的定义域为，

则函数为非奇非偶函数，故D不符题意.

故选：B.

5．已知函数（），则（       ）

A．1 B． C． D．0

【答案】D

【分析】将代入表达式计算即可.

【详解】解：因为数，

所以.

故选：D.

6．直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由直线方程为，可得斜率，设倾斜角，再根据即可得解.

【详解】由直线方程为，

可得斜率，

设倾斜角，由可得：

，又因为，

可得：，

故选：A.

【点睛】本题考查了斜率和倾斜角的关系，考查了利用斜率求倾斜角，计算量不大，属于基础题.

7．若直线：与直线：互相平行，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．

【详解】解：若直线：与直线：互相平行

，

解得

故选：A．

8．在中，若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用余弦定理即可得出答案.

【详解】解：因为，，，

所以，

所以.

故选：C.

9．已知，，若与夹角的大小为60°，则（       ）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的数量积的公式直接计算可得.

【详解】

故选：B

10．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用中间量，结合对数函数与指数函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：因为，

，

，

所以.

故选：D.

11．为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（       ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】B

【分析】根据平移变换的特征，即可得出答案.

【详解】解：，

则为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点向右平移个单位长度.

故选：B.

12．一袋装有大小相同的2个白球和4个黑球，从袋中随机抽取两个球，则摸得2个黑球的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用古典概型求解即可.

【详解】一袋装有大小相同的2个白球和4个黑球，从袋中随机抽取两个球，则摸得2个黑球的概率为，

故选：C.

13．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（       ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则，

D．若，，，则

【答案】D

【分析】根据线面、面面垂直及平行的判定定理判断即可得出结论.

【详解】若，，则不一定垂直，故A错误；

若，，则不一定平行，故B错误；

若，，则可能在或内，故C错误；

若，，则，又，则正确；故D正确；

故选：D.

14．已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是（       ）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.

【详解】因为，所以周期，故①正确；

，故②不正确；

将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，

故③正确.

故选：B.

【点晴】

本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.

15．若，都是正数，且，则的最小值为（       ）

A．4 B．8 C． D．

【答案】A

【分析】将代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论．

【详解】若，都是正数，且

，

当且仅当时等号成立，

故选：A.

二、填空题

16．计算：sin150°＝_____．

【答案】

【分析】利用诱导公式直接化简计算即可得出答案.

【详解】sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.

故答案为：

【点睛】本题考查了诱导公式的应用,属于基础题.

17．若是虚数单位，则复数______.

【答案】

【分析】直接根据复数的除法运算即可得解.

【详解】解：.

故答案为：.

18．已知某校高一年级、高二年级、高三年级的学生人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取70人，进行睡眠时间的调查，则应从高二年级的学生中抽取______人.

【答案】20

【分析】根据分层抽样的定义计算即可得出答案.

【详解】解：根据题意应从高二年级的学生中抽取人.

故答案为：20.

19．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.

【答案】.

【分析】求出球的半径即可.

【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上，

所以球的直径为正方体的对角线，

所以，

所以，

故球的表面积：.

故答案为：.

20．函数，当时，则的值为______.

【答案】

【分析】分情况代入即可求得结果.

【详解】当时，，得；当时，，得，综上，，

故答案为：.

三、解答题

21．已知，.

(1)求：；

(2)求：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平方关系求出，再根据二倍角的正弦公式即可得解；

（2）利用两角差的余弦公式计算即可得解.

【详解】(1)解：因为，，所以，

所以；

(2)解：.

22．已知圆：，直线：.

(1)求圆的圆心及半径；

(2)求直线被圆截得的弦的长度.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，即可得出答案；

（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得出答案.

【详解】(1)解：圆：整理得，

圆心，半径为；

(2)解：圆心到直线：的距离，

所以弦的长度.

23．如图，正方体中，、分别是、的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先证四边形为平行四边形，然后利用中位线证得线线平行，然后利用线面平行的判定证得结论；

（2）利用线面垂直的性质定理结合线面垂直的判定定理即可证得结论.

【详解】(1)因为且，则四边形为平行四边形，故,

因为、分别是、的中点.，

所以，

所以,

又平面，

平面，

则平面；

(2)正方体中，因为底面，

且平面，

所以，

又，

且，平面

则平面.

24．已知函数，其中，.

(1)若，求实数的值；

(2)若时，求不等式的解集；

(3)求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)

(3)当时，解集为；当时，解集为

【分析】（1）代入数值即可求解；（2）代入后解一元二次不等式即可；（3）对参数分情况讨论解一元二次不等式即可.

【详解】(1)因为，所以；

(2)若时，，

即，

解得，

不等式的解集为；

(3)因为，

所以，即

当时，解集为；

当时，或，解集为.