2022年6月天津市普通高中学业水平合格性考试数学试题（含解析）

这是一份2022年6月天津市普通高中学业水平合格性考试数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年6月天津市普通高中学业水平合格性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则等于（    ）
A． B． C． D．
2．一元二次不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
3．化为弧度是
A． B． C． D．
4．命题“，”的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数的定义城为（    ）
A． B． C． D．
6．下列函数中是奇函数的为（    ）
A． B．
C． D．
7．已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
8．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．已知，，则的值为（    ）
A． B．2 C．8 D．15
10．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）
    
A． B． C． D．
11．为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点（    ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
12．从2名女生和3名男生中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女生的概率为（    ）
A． B． C． D．
13．甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ）
A． B． C． D．
14．函数的零点所在的区间是
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
15．从某校抽取100名学生进行一周课外阅读时间调查，发现他们的一周课外阅读时间都在0~18小时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.则在被调查的学生中，课外阅读时间落在区间内的人数为（    ）
  
A．6 B．8 C．12 D．25

二、填空题
16．函数，的最大值为 .
17．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队全体运动员中抽出一个容量为14的样本.如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数为 .
18．是虚数单位，则复数 .
19．已知分别是三个内角的对边，，，，则 .
20．已知，，且，则的最小值为 .

三、解答题
21．已知，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
22．已知向量，.
(1)求，的坐标；
(2)求，的值.
23．四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点.
(1)求证：平面PDB；
(2)求证：平面PDB.
24．已知函数，其中.
(1)若，求的值；
(2)当时，
（i）根据定义证明函数在区间上单调递增；
（ii）记函数，若，求实数的值.

参考答案：
1．B
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】集合，，则等于.
故选：B
2．D
【分析】直接解一元二次不等式即可.
【详解】由，解得或，
即原不等式解集为.
故选：D
3．D
【分析】由于，则.
【详解】因为，所以，故选D.
【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化.
4．C
【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：C
5．B
【分析】根据对数的定义域求解即可.
【详解】由题意，解得，故函数的定义城为.
故选：B
6．C
【分析】根据奇函数定义逐一判断各个选项即可.
【详解】对于A，函数定义域为，，该函数不是奇函数，故A错误；
对于B，函数定义域为，该函数为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，函数定义域为，，该函数为奇函数，故C正确；
对于D，函数定义域为，，该函数不是奇函数，故D错误.
故选：C
7．A
【分析】根据圆锥体积公式直接计算.
【详解】由题意知，圆锥底面积为，圆锥的高，
则圆锥的体积为.
故选：A
8．A
【分析】根据复数的几何意义直接判断.
【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限.
故选：A
9．D
【分析】根据指数的运算求解即可.
【详解】.
故选：D
10．B
【分析】根据向量减法运算法则直接计算.
【详解】由题意得，，
因为，，
所以.
故选：B
11．B
【分析】根据余弦函数平移规律直接判断.
【详解】将图像所有的点向右平移个单位长度，得到图像，
即为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度.
故选：B
12．D
【分析】根据题意直接计算概率即可.
【详解】从2名女生和3名男生中任选2人参加社区服务，
记女生分别为，男生分别为，
则所有可能情况为，
总共有10种方案，
选中的2人都是女生，有1种方案，
则所求概率为.
故选：D
13．A
【分析】根据独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】根据已知条件,甲、乙能破译的概率分别是,
所以两人都成功破译的概率是.
故选:A.
14．B
【分析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.
【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在 存在零点，故选B.
【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.
15．C
【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可.
【详解】由题知 ,课外阅读时间落在区间内的频率为，
则课外阅读时间落在区间内的人数为.
故选：C
16．
【分析】根据正弦函数相关知识直接求解.
【详解】函数，的最大值为，
当且仅当时取最大值.
故答案为：
17．
【分析】利用分层抽样的定义求解.
【详解】由题意可知
抽取男运动员的人数为，
故答案为：.
18．
【分析】根据复数除法运算法则直接计算.
【详解】由题意得，.
故答案为：
19．
【分析】根据正弦定理直接计算即可.
【详解】在中，由正弦定理得，
又因为，，，
所以.
故答案为：
20．4
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】由，，可得，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4
21．(1)，
(2)

【分析】（1）根据判断三角函数值的正负，结合同角三角函数关系即可求解；
（2）根据二倍角正弦公式直接计算求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以，
所以.
（2）因为，，
所以
22．(1)，
(2)，

【分析】（1）根据平面向量坐标的运算求解即可；
（2）根据模长与数量积公式求解即可.
【详解】（1），
（2），
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）根据中位线的性质证明即可；
（2）根据线面垂直的判定与性质，证明，即可
【详解】（1）因为M，N分别是BC，PC的中点，故.
又平面，平面，故平面PDB.
（2）因为平面ABCD，且平面，故.
又因为四棱锥的底面是正方形，则.
又，平面，故平面PDB.
    
24．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）或

【分析】（1）根据函数值直接代入求参即可；
（2）（i）任取，且，从而证明即可；
（ii）根据题意研究该分段函数单调性，根据分类讨论求值即可.
【详解】（1）因为函数，所以，
解得，所以的值为
（2）当时，，
（i）任取，且，
则
，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增
（ii）由题意得，，
函数在和单调递增，在和单调递减，
作出函数图像如下图所示，
    
若， 显然，
①，即时，
，解得，符合题意；
②，即时，
，解得，不符合题意；
③，即时，
，即，
解得，均符合题意.
综上所述，或