2022年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（解析版）

这是一份2022年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设全集，集合，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】全集，又，则
，故选A.
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
【答案】B
【详解】解：因为该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在［160，175］cm的概率为0.5，和该同学的身高超过175cm的概率和为1，利用对立事件可知1-0.2-0.5=0.3，选B
3．的值为（ ）．
A．B．0C．1D．不存在
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；
【详解】解：
故选：B
4．下列函数中，在上单调递增的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当时，可得函数在上单调递增，满足题意；
对于B中，根据二次函数的性质，可得函数在上单调递减，不满足题意；
对于C中，函数，可得函数在上单调递减，不满足题意；
对于D中，函数，可得函数在上单调递减，不满足题意，
故选：A.
5．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】B
【解析】根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.
【详解】因为，所以，
所以，即.
故选：B
6．设C为复数集，若，且（i为虚数单位），则（ ）．
A．1B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以；
故选：A
7．在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，利用零点的存在定理，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数，
可得，所以，
结合零点的存在定理，可得函数的一个零点所在的区间为.
故选：B.
8．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【详解】试题分析：根据题意，由分层抽样知识可得：
在高二年级的学生中应抽取的人数为：，
故选B．
【解析】分层抽样．
9．函数是
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数
【答案】A
【详解】函数函数的周期是，，函数是奇函数，函数是周期为的奇函数，故选A.
10．如图，，，分别是的边，，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据三角形中位线性质和向量的加法法则进行判断即可
【详解】A.项 且利用中位线性质有平行
故
B.项 ，且平行
故
C.项 由向量加法运算有
D.项 ，不成立
故选：D
11．某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是（ ）．
A．130B．140C．133D．137
【答案】C
【分析】根据频率分别直方图性质求解即可.
【详解】优秀的频率为，
的频率为，的频率为，
所以的值在之间.
即，解得.
故选：C.
12．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论.
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
所得图象对应的表达式为，
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题.
13．在中，则
A．B．C．或D．或
【答案】B
【详解】由正弦定理可知，，故选B.
14．设，其中e为自然对数的底，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算法则、对数函数的性质以及作差法判断即可；
【详解】解：，又
即，
，所以，
，
又，所以，
，所以，
所以；
故选：B
15．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，则可得为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得DE，从而在中求解即可
【详解】解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中，
因为，而，所以在中，，故，
故选：C．
二、填空题
16．某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为___________．
【答案】
【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意选中男生的概率；
故答案为：
17．在中，若，则的长为__________．
【答案】
【分析】直接利用余弦定理计算可得；
【详解】解：由余弦定理，
即，
所以
故答案为：
18．已知，则__________．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律求出，再根据计算可得；
【详解】解：因为，所以，
即，即，所以，解得；
所以
故答案为：
19．表面积为的正四面体外接球的体积为__________．
【答案】
【分析】设正四面体的边长为，的外接圆圆心为，正四面体外接球的球心为，半径为，根据已知条件得到，从而得到外接球半径，再求外接球体积即可.
【详解】设正四面体的边长为，的外接圆圆心为，正四面体外接球的球心为，
半径为，如图所示：
因为，解得.
因为，所以，.
在中，解得.
正四面体外接球的体积.
故答案为：
20．若，则的最大值是______．
【答案】
【分析】变形，利用基本不等式可得最值.
【详解】，则
.
当且仅当，即时，等号成立.
即的最大值是.
故答案为：.
三、解答题
21．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接用二倍角余弦公式即可得结果；
（2）由三角恒等式求出，再根据两角差的正弦公式即可得结果.
【详解】(1)因为，
所以.
(2)因为，所以，
所以.
22．已知复数是实数，是虚数单位.
（1）求复数；
（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先求出，由题得，即可解出；
（2）求出，解不等式即得解.
【详解】（1）∵，∴ ，
又是实数，∴，得.∴复数.
（2）由（1）得，，∴，
∵复数所表示的点在第一象限，∴，得.
∴实数m的取值范围是.
23．如图，四棱锥的底面是菱形，，平面，是的中点，是的中点．
（）求证：平面平面．
（）求证：平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）根据平几知识计算得，再根据条件由线面垂直得，最后根据线面垂直判定定理得平面，由面面垂直判定定理得结论（2）取的中点，由平几知识得，再根据线面平行判定定理得结论
试题解析：（）∵底面是菱形，，
∴为正三角形，是的中点，，
平面，平面，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（）取的中点，连结，，
∵，是中点，∴且，
∴与平行且相等，∴，
∵平面，平面，∴平面．
24．已知函数．
(1)若为偶函数，求a的值；
(2)若在上有最小值9，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意得到函数的图象关于对称，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由（1）的函数的对称轴方程为，分三种情况讨论，结合函数的单调性，利用最小值列出方程，即可求解.
【详解】(1)解：由题意，函数，可得其对称轴方程为，
因为函数为偶函数，所以二次函数的对称轴为，
所以，解得.
(2)解：由（1）知，函数，对称轴方程为，
①当，即时，函数在上为增函数，
所以函数的最小值为，解得；
②当，即时，函数在单调递减，在单调递增，
所以函数的最小值为，此时方程无解；
③当，即时，函数在上为减函数，
所以函数的最小值为，
解得或（舍去），
综上所述，满足条件的的值为或.