新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第一章 习题课　对称问题

这是一份新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第一章 习题课　对称问题，文件包含第一章习题课对称问题pptx、第一章习题课对称问题docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。


习题课　对称问题
第一章　直线与圆
学习目标
1.学会点点、点线、线线对称问题.
2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题.
导语
对称，也许是中国人最喜欢的美.古语有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美.”里里外外皆均衡妥帖，方为“美”.对称即是这样的美.建筑师梁思成曾说过：“无论东方、西方，再没有一个民族对中轴对称线如此钟爱与恪守.”放眼中国的建筑，无论是宫
殿、庙宇、亭台、楼阁、园林无不有着对称之美.今天我们就一起去感受一下直线的对称美.
内容索引
几类常见的对称问题

一
　　已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
∴点P′的坐标为(－2,7).
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程.
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4).因为点E′，F′在所求直线上，
即3x－y－17＝0.
反思感悟
对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y).(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
反思感悟
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得.(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.
　　　已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.(1)求点P关于直线l对称点R的坐标；
设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程.
因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，
则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0.
光的反射问题

二
　　一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程.
如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
∴A的坐标为(4,3).∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y＝3.
由于反射光线为射线，
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
反思感悟
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解.
　　　如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是
√
由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，
利用对称解决有关最值问题

三
　　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，
∴a＋b－4＝0， ①
即a－b－6＝0. ②
∴点B′的坐标为(5，－1).
即2x＋y－9＝0.易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大.∴联立直线l与AB′的方程，
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小.
如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小.∴联立直线AC′与l的方程，
反思感悟
利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
　　　在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是A.10 　　　B.11　　　 C.12 　　　D.13
√
如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.当A与B重合于坐标原点O时，
当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值为10.
课堂小结
1.知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题. (2)反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题.2.方法归纳：转化与化归、数形结合.3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆.
随堂演练

1.点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是A.(－1，－3) B.(17，－9)C.(－1,3) D.(－17,9)
1
2
3
4
√
设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
所以该点的坐标为(－1，－3).
1
2
3
4
2.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0
√
1
2
3
4
3.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2
√
1
2
3
4
4.一条光线从点A(3,2)出发，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为_____.
－2
如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，所以点A′在直线MB上.由对称性可知A′(3，－2)，
故反射光线所在直线的斜率为－2.
课时对点练

1.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为A.(6，－3) B.(3，－6)C.(－6，－3) D.(－6,3)
√
设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于A.－1 　　　B.1　　　 C.2　　　 D.0
√
∵点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，∴点P(a，b)在直线l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，又点(1，－1)到两直线的距离相等，
解得c＝－6(舍去)或c＝8，∴l′的方程为2x＋3y＋8＝0，即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.直线m：2x＋y－4＝0关于直线n：3x＋4y－1＝0对称的直线l的方程是A.2x＋11y＋16＝0 B.2x－11y＋16＝0C.11x－2y＋16＝0 D.11x＋2y＋16＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一　设直线l上的动点P(x，y)，直线m上的点Q(x0,4－2x0)，且P，Q两点关于直线n：3x＋4y－1＝0对称，则有
消去x0，得2x＋11y＋16＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二　由直线m：2x＋y－4＝0知A(2,0)，B(0,4)为直线m上的点，设A，B关于直线n的对称点为A′(a，b)，B′(a′，b′)，则有
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即2x＋11y＋16＝0.
6.已知点A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是A.(4,0) 　　　B.(13,0) 　　　 C.(5,0) 　　　 D.(1,0)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求.
令y＝0，得x＝13.即点P坐标为(13,0).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|取最小值，则点M的坐标为_______.
(1,0)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为M，连接AM.
即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，所以点M的坐标为(1,0).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_____________.
6x－y－6＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
又反射光线经过点N(2,6)，
即6x－y－6＝0.
9.已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.(1)试判断由此得到的△ABC的个数；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即3m2＋8m－3＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形.综上，符合题意的△ABC只有1个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求直线BC的方程.
则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0，即直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.若点A(a－1，a＋1)，B(a,a)关于直线l对称，则l的方程为A.x－y＋1＝0 B.x＋y－1＝0C.2x－2y＋1＝0 D.2x＋y－2＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为A，B关于直线l对称，所以直线l经过AB的中点且直线l和AB垂直，
即x－y＋1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以A(－1,1).设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即3x－2y＋5＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′(－2，－4).要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图所示，设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，
在直线x＋y＝3上取点P，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由对称性可得|PB|＝|PC|，
当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.若函数y＝　　 的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是_______________.
x－4y－1＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又线段PQ的中点是(1,0)，
所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0.
16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
故所求的点P的坐标为(－2,3).
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
故所求的点P的坐标为(12,10).