第一章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份第一章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析），共14页。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.“a=1”是“直线l:ax-y+1=0与直线m:x+y=a垂直”的(　　)
A.充要条件　　　　　　　B.充分不必要条件
C.必要不充分条件　　　　　　　D.既不充分也不必要条件
2.已知圆C:x2+2x+y2=0,则圆心C到直线x=3的距离为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.若直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则两平行线间的距离为 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.22
4.两圆交于点A(1,3)和B(m,1),两圆的圆心都在直线x-y+c2=0上,则m+c= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
5.若圆的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是 (　　)
A.(x-3)2+(y-1)2=1　　　　　　　B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+3)2+(y-1)2=1　　　　　　　D.(x-2)2+(y-1)2=1
6.过点(2,0)引直线l,与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取得最大值时,直线l的斜率等于 (　　)
A.33　　　　B.-33　　　　C.±33　　　　D.-3
7.由直线y=x+2上的点P向圆C:(x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),当|PT|最小时,点P的坐标是(　　)
A.(-1,1)　　　　B.(0,2)　　　　C.(-2,0)　　　　D.(1,3)
8.已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9,点M、N分别是圆C1、圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 (　　)
A.25+4　　　　B.9　　　　C.7　　　　D.25+2
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.以下四个命题表述正确的是 (　　)
A.直线mx+4y-12=0(m∈R)过定点(0,3)
B.圆C:x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线4x-3y+3=0的距离为2
C.圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2-4x-8y+4=0恰有三条公切线
D.两圆x2+y2+4x-4y=0与x2+y2+2x-12=0的公共弦所在直线的方程为x+2y+6=0
10.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若MN≥23,则k的取值可以是 (　　)
A.-1　　　　B.-12　　　　C.0　　　　D.1
11.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的值可以是 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
12.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4,k∈R,则下列命题正确的是 (　　)
A.无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.不存在定直线始终与圆Ck相切
D.若k∈22,322,则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若圆C经过点A(1,1),B(2,-2)且圆心C在直线l:x-y+1=0上,则该圆的面积为　　　　. 
14.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是　　　　. 
15.直线y=x+b被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长最大为　　　　;若该圆上到此直线的距离等于1的点有且仅有4个,则b的取值范围是　　　　. 
16.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的面积最小是2,则k=　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l过点(1,4),且在x轴和y轴上的截距分别为a和b.
(1)若a与b互为相反数,求直线l的方程;
(2)若a>0,b>0,当a+b取得最小值时,求直线l的方程.






18.(本小题满分12分)已知圆M与圆N:(x-2)2+(y-1)2=1关于直线l:y=x+1对称.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若点A的坐标为(1,3),O为坐标原点,B为圆M上的动点,求△AOB面积的取值范围.








19.(本小题满分12分)已知直线l:mx-y+2-m=0交圆C:x2+(y-2)2=5于A,B两点.
(1)当m=3时,求|AB|的值;
(2)求AB的中点M的轨迹方程.








20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2ay+a2=0.
(1)若圆C与x轴相切,求实数a的值;
(2)若M,N为圆C上不同的两点,过点M,N分别作圆C的切线l1,l2,若l1与l2相交于点P,圆C上异于M,N另有一点Q,满足∠MQN=60°,若直线l1:x-y-6=0上存在唯一的一个点T,使得TP=2OC,求实数a的值.




21.(本小题满分12分)树林的边界是直线l(如图),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,AB=BC=a(a为正实数),若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑(D为l上异于C的点),同时狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击,若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间,狼就会吃掉兔子.
(1)求兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a);
(2)若兔子没被狼吃掉,求θ(θ=∠DAC)的取值范围.




22.(本小题满分12分)已知圆C:x2+(y-2)2=r2(r>0)与直线l:3x+4y+12=0相切.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若动点M在直线y+6=0上,过点M引圆C的两条切线MA、MB,切点分别为A,B.
①记四边形MACB的面积为S,求S的最小值;
②证明:直线AB恒过定点.










答案全解全析
一、单项选择题
1.A　充分性:若a=1,则1×1+(-1)×1=0,即两直线垂直,充分性满足;必要性:直线l:ax-y+1=0与直线m:x+y=a垂直,则a×1+(-1)×1=0,解得a=1,必要性满足.即“a=1”是“直线l:ax-y+1=0与直线m:x+y=a垂直”的充要条件.故选A.
2.D　易得圆C的标准方程为(x+1)2+y2=1,则圆心C(-1,0)到直线x=3的距离为3-(-1)=4,故选D.
3.B　直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则a2-1=0,解得a=±1.当a=-1时,直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y+1=0重合,故舍去;当a=1时,直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+y+1=0平行,故两平行线间的距离d=|-1-1|2=2.故选B.
4.C　由题意得线段AB的中点m+12,2在直线x-y+c2=0上,代入得m+12-2+c2=0,整理可得m+c=3.故选C.
5.D　设圆心坐标为(a,b)(a>0,b>0),由圆与直线4x-3y=0相切,可得圆心到直线的距离d=|4a-3b|5=r=1,即|4a-3b|=5①.又圆与x轴相切,所以|b|=r=1,解得b=1或b=-1(舍去),把b=1代入①,得4a-3=5或4a-3=-5,解得a=2或a=-12(舍去),∴圆心坐标为(2,1),则圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选D.
6.B　由y=1-x2,得x2+y2=1(y≥0),其所表示的图形是以O为圆心,1为半径的上半圆(如图).由题意及图形知,直线l的斜率必为负值,故排除A,C选项.

当其斜率为-3时,直线l的方程为3x+y-6=0,点O到直线l的距离为|-6|3+1=62>1,不符合题意,故排除D选项.
故选B.
7.B　(x-4)2+(y+2)2=1的圆心为C(4,-2),半径r=1,连接CT,PC,因为PT是圆C的切线,所以CT⊥PT,根据勾股定理得|PT|=|PC|2-1,所以当|PC|最小时,|PT|最小,如图,点C到直线y=x+2的距离即|PC|的最小值,

此时直线PC的斜率为-1,所以直线PC的方程是y+2=-(x-4),即y=-x+2,由y=-x+2,y=x+2,得x=0,y=2,所以P(0,2).故选B.
8.B　圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心为C1(1,-1),半径为1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心为C2(4,5),半径为3.要使|PN|-|PM|的值最大,需|PN|的值最大,且|PM|的值最小,|PN|的最大值为|PC2|+3,|PM|的最小值为|PC1|-1,故|PN|-|PM|的最大值是(|PC2|+3)-(|PC1|-1)=|PC2|-|PC1|+4.C2(4,5)关于x轴的对称点为C'2(4,-5),则|PC2|-|PC1|=|PC'2|-|PC1|≤|C1C'2|=(4-1)2+(-5+1)2=5,故|PC2|-|PC1|+4的最大值为5+4=9,故选B.
二、多项选择题
9.AC　对于A,mx+4y-12=0可变形为4(y-3)=-mx,所以直线过定点(0,3),故A正确.
对于B,圆C的圆心为(1,4),其到直线4x-3y+3=0的距离为|4-12+3|5=1,所以B错误.
对于C,圆C1的圆心为(-1,0),半径r1=1;圆C2的圆心为(2,4),半径r2=4,所以两圆的圆心距为32+42=5=r1+r2,所以两圆外切,故恰有三条公切线,故C正确.
对于D,由x2+y2+4x-4y=0,x2+y2+2x-12=0两式相减并化简得x-2y+6=0,所以D错误.故选AC.
10.BC　圆(x-3)2+(y-2)2=4的圆心为(3,2),半径为2,由MN≥23可得圆心(3,2)到直线y=kx+3的距离d=22-MN22≤1,又直线方程可化为kx-y+3=0,所以|3k-2+3|k2+1≤1,解得-34≤k≤0,所以k的取值可以是-12、0.故选BC.
11.AB　圆C的方程可化为(x-2)2+y2=4,
则圆心为C(2,0),半径R=2.
设两个切点分别为A,B,则由题意可得四边形PACB为正方形,故|PC|=2R=22.

∴圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于22,
即|2k-0+k|k2+1≤22,解得-22≤k≤22,
∴实数k的取值可以是1,2.
故选AB.
12.ABD　圆心坐标为(k,k),它在直线y=x上,A正确;将(3,0)代入圆的方程得(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,Δ=36-40=-4<0,无解,B正确;因为圆心在直线y=x上,半径为定值2,所以定直线斜率一定为1,设为y=x+b,则|b|2=2,得b=±22,故存在两条定直线y=x±22始终与圆Ck相切,C错误;圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,即为圆x2+y2=1与圆Ck有两个交点,即1<|2k|<3,则k∈-322,-22∪22,322,D正确.故选ABD.
三、填空题
13.答案　25π
解析　设圆心C(a,b),半径为r(r>0),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由于点A(1,1),B(2,-2)在圆C上,且圆心C在直线l:x-y+1=0上,因此有(1-a)2+(1-b)2=r2,(2-a)2+(-2-b)2=r2,a-b+1=0,解得a=-3,b=-2,r=5,所以该圆的面积是πr2=25π.
14.答案　5
解析　由直线x+my=0求得定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0,即y-3=m(x-1),所以得定点B(1,3).
当m=0时,两条动直线垂直,当m≠0时,因为1×m+m×(-1)=0,所以两条动直线也垂直.
因为P为直线x+my=0与mx-y-m+3=0的交点,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤|PA|2+|PB|22=5(当且仅当|PA|=|PB|=5时,等号成立),
所以|PA|·|PB|的最大值是5.
15.答案　4;(-2,2)
解析　因为圆(x-1)2+(y-1)2=4的圆心为(1,1),半径为2,所以当直线y=x+b过圆心时,被圆截得的弦长最大,为4.若要使该圆上到此直线的距离等于1的点有且仅有4个,则圆心到直线的距离d=|1-1+b|1+1=|b|2∈[0,1),所以b∈(-2,2).
16.答案　2
解析　圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1),半径为r=1.
由圆的性质可知,四边形PACB的面积S=2S△PBC,又四边形PACB的面积最小是2,则S△PBC的最小值为1,即12r|PB|min=12|PB|min=1,则|PB|min=2.因为|PB|=|PC|2-r2=|PC|2-1,所以当|PC|取最小值时,|PB|最小.又点P(x,y)是直线kx+y+4=0上的动点,所以当CP垂直于直线kx+y+4=0时,|PC|最小,最小值为圆心C(0,1)到直线kx+y+4=0的距离,则|1+4|k2+1=22+12=5,解得k=±2,因为k>0,所以k=2.
四、解答题
17.解析　(1)若a=0,b=0,则可设直线l的方程为y=kx.
因为直线l过点(1,4),即k=4,所以直线l的方程为y=4x,即4x-y=0; (2分)
若a≠0,b≠0,则可设直线l的方程为xa+yb=1.
因为直线l过点(1,4)且a与b互为相反数,
所以1a+4b=1,a+b=0⇒a=-3,b=3,此时直线l的方程为x-y+3=0. (4分)
综上,直线l的方程为4x-y=0或x-y+3=0. (5分)
(2)设直线l的方程为xa+yb=1,因为直线l过点(1,4),所以1a+4b=1. (7分)
因为a>0,b>0,所以a+b=(a+b)·1a+4b=ba+4ab+5≥2ba·4ab+5=9,当且仅当ba=4ab,即a=3,b=6时取等号. (9分)
此时直线l的方程为x3+y6=1,即2x+y-6=0. (10分)
18.解析　(1)设圆心N(2,1)关于直线l:y=x+1的对称点为(a,b),则b-1a-2=-1,b+12=a+22+1, (3分)
解得a=0,b=3,∴M(0,3), (4分)
∴圆M的标准方程为x2+(y-3)2=1. (6分)
(2)易知|OA|=1+3=2,且直线OA的方程为y=3x, (8分)
点M(0,3)到直线OA的距离为d=|0-3|2=32,
又∵B为圆M上的动点,
∴点B到直线OA的距离h的取值范围为12,52, (10分)
又S△AOB=12|OA|·h=h,
∴12≤S△AOB≤52. (11分)
∴△AOB面积的取值范围为12,52. (12分)
19.解析　(1)当m=3时,直线l的方程为3x-y+2-3=0, (2分)
圆心C(0,2)到直线l的距离d=|3×0-2+2-3|(3)2+(-1)2=32, (4分)
∵圆C的半径r=5,
∴|AB|=2r2-d2=25-34=17. (6分)
(2)直线l的方程可变形为y-2=m(x-1),∴直线l过定点P(1,2), (8分)
∵M是AB的中点,∴CM⊥AB,即CM⊥PM(或M与P重合),
∴点M的轨迹是以线段CP为直径的圆. (10分)
∵CP的中点坐标为12,2,12|CP|=12,
∴AB的中点M的轨迹方程为x-122+(y-2)2=14. (12分)
20.解析　(1)圆C的方程可以化为(x+2)2+(y-a)2=4,
所以圆心C(-2,a),半径为2. (2分)
因为圆C与x轴相切,所以|a|=2,所以a=±2. (4分)
(2)因为点M,N在圆C上,且∠MQN=60°,所以∠MCN=120°. (5分)
因为PM,PN都是圆C的切线,
所以PC=4,即点P在以C为圆心,4为半径的圆上,
所以点P的轨迹方程为(x+2)2+(y-a)2=16. (7分)
设T(x0,y0),P(m,n).
由TP=2OC得,(m-x0,n-y0)=2(-2,a),
所以m-x0=-4,n-y0=2a,
即m=x0-4,n=y0+2a,
所以(x0-2)2+(y0+a)2=16. (9分)
因为直线l:x-y-6=0上存在唯一的一个点T,使得TP=2OC,
所以圆(x0-2)2+(y0+a)2=16与直线x0-y0-6=0只有一个交点, (10分)
所以|2+a-6|2=4,
所以a=4±42. (12分)
21.解析　(1)建立如图所示的平面直角坐标系.

则A(0,2a),B(0,a),设M(x,y). (1分)
由|BM|μ≤|AM|2μ
得x2+y-2a32≤4a29, (4分)
∴点M在以0,2a3为圆心,2a3为半径的圆(上)及其内部,所以S(a)=4a29π. (6分)
(2)设直线lAD:y=kx+2a(k≠0). (7分)
由兔子没被狼吃掉可得2a-2a31+k2>2a3, (9分)
解得-3 可得0<∠ADC<π3,所以θ∈π6,π2. (12分)
22.解析　(1)由题意知,圆心C(0,2)到直线l:3x+4y+12=0的距离d=|8+12|5=4,所以r=4, (2分)
故圆C的标准方程为x2+(y-2)2=16. (4分)
(2)①由已知得圆心C(0,2),半径r=4.
因为MA、MB是圆C的两条切线,
所以CA⊥MA,CB⊥MB,
故|MA|=|MB|=|MC|2-r2=|MC|2-16, (5分)
又因为S=2S△ACM=4|MA|=4|MC|2-16, (6分)
根据平面几何知识,要使S最小,只需|MC|最小即可.
易知,当点M的坐标为(0,-6)时,
|MC|min=8.
此时Smin=464-16=163. (8分)
②证明:设点M的坐标为(a,-6).
因为∠MAC=∠MBC=90°,所以M、A、C、B四点在以MC为直径的圆上. (9分)
该圆的方程为x(x-a)+(y+6)(y-2)=0, (10分)
又圆C的方程为x2+(y-2)2=16,所以两式相减得ax-8y=0,
即直线AB的方程为ax-8y=0,
所以直线AB恒过定点(0,0). (12分)