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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 双曲线及其标准方程说课课件ppt
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 双曲线及其标准方程说课课件ppt，文件包含第二章21双曲线及其标准方程pptx、第二章21双曲线及其标准方程docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题.
同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的.创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生.
然而，我们生活中遇到的双曲线(如图)却是快乐的，今天我们很高兴的认识这个朋友——双曲线.
问题1 椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
问题2 把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会怎么样？
提示 准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支.(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这个条件.
问题3 在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|，如果截取的长度等于|F1F2|，其轨迹还是上述图形吗？
提示 不是，是以F1，F2为端点的两条射线.
平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作 .这两个定点F1，F2叫作双曲线的_____，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的 .
(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线
当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
在平面直角坐标系中，F1(－2,0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是A.(0,4) B.(0,4]C.(4，＋∞) D.(0,4)∪(4，＋∞)
由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，所以0
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，
问题5 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系.(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
求过点 且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.
设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.因为点P，Q在双曲线上，
求双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.(2)当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线.设此种形式求双曲线方程可避免讨论焦点位置.
焦点在x轴上，且经过点P(4，－2)和点 的双曲线的标准方程为___________.
解得a2＝8，b2＝4，
神舟“十二号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.
设A，B，C分别表示三个救援中心，P表示航天员着陆点，如图所示，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是_______________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km.
如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
当A，M，C三点共线时等号成立.
1.知识清单： (1)双曲线定义. (2)双曲线方程的求法. (3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.
1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是A.双曲线的一支 B.双曲线C.椭圆 D. 圆
由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
3.双曲线 ＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为A.1或21 B.14或36C.2 D.21
设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，∴|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1
1.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
2.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是A.|PF1|－|PF2|＝±3B.|PF1|－|PF2|＝±4C.|PF1|－|PF2|＝±5D.|PF1|2－|PF2|2＝±4
当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线.
4.(多选)双曲线 ＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为A.17 B.7 C.22 D.2
∴点P可能在左支，也可能在右支，由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，∴|PF2|为22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
5.已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为A.4a B.4a－mC.4a＋2m D.4a－2m
不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
6.已知双曲线 ＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为A.3或7 B.6或14C.3 D.7
设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，
7.焦点在x轴上的双曲线经过点P( ，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为____________.
又∵c2＝a2＋b2＝25，
设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得 ＝－1，
∴a2＝16，b2＝9.
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
9.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝ ，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程.
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示.
由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
10.如图，若F1，F2是双曲线 ＝1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
则a＝3，b＝4，c＝5，设点M到另一个焦点的距离为m，由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，即点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.
因为P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，代入|PF1|·|PF2|＝32，可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，所以△F1PF2为直角三角形，
A.10厘米 B.20厘米C.30厘米 D.40厘米
因为双曲线焦点在x轴上，由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以2a＝16，可得a＝8，
因为瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为10，
解得y＝±10，所以颈部高为20厘米.
12.双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于A.1 B.4 C.7 D.9
设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∵∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.
13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是A.双曲线的一支 B.圆C.椭圆 D.双曲线
设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1，又|O1O2|＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
所以|yP|＝4，所以选项A错误；
则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，所以选项C正确；
设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.因为 ＋8，
16.△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
设顶点A的坐标为(x，y)，
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题.
同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的.创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生.
然而，我们生活中遇到的双曲线(如图)却是快乐的，今天我们很高兴的认识这个朋友——双曲线.
问题1 椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
问题2 把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会怎么样？
提示 准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支.(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这个条件.
问题3 在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|，如果截取的长度等于|F1F2|，其轨迹还是上述图形吗？
提示 不是，是以F1，F2为端点的两条射线.
平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作 .这两个定点F1，F2叫作双曲线的_____，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的 .
(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线
当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
在平面直角坐标系中，F1(－2,0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是A.(0,4) B.(0,4]C.(4，＋∞) D.(0,4)∪(4，＋∞)
由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，所以0
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，
问题5 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系.(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
求过点 且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.
设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.因为点P，Q在双曲线上，
求双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.(2)当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线.设此种形式求双曲线方程可避免讨论焦点位置.
焦点在x轴上，且经过点P(4，－2)和点 的双曲线的标准方程为___________.
解得a2＝8，b2＝4，
神舟“十二号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.
设A，B，C分别表示三个救援中心，P表示航天员着陆点，如图所示，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是_______________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km.
如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
当A，M，C三点共线时等号成立.
1.知识清单： (1)双曲线定义. (2)双曲线方程的求法. (3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.
1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是A.双曲线的一支 B.双曲线C.椭圆 D. 圆
由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
3.双曲线 ＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为A.1或21 B.14或36C.2 D.21
设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，∴|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1
1.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
2.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是A.|PF1|－|PF2|＝±3B.|PF1|－|PF2|＝±4C.|PF1|－|PF2|＝±5D.|PF1|2－|PF2|2＝±4
当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线.
4.(多选)双曲线 ＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为A.17 B.7 C.22 D.2
∴点P可能在左支，也可能在右支，由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，∴|PF2|为22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
5.已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为A.4a B.4a－mC.4a＋2m D.4a－2m
不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
6.已知双曲线 ＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为A.3或7 B.6或14C.3 D.7
设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，
7.焦点在x轴上的双曲线经过点P( ，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为____________.
又∵c2＝a2＋b2＝25，
设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得 ＝－1，
∴a2＝16，b2＝9.
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
9.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝ ，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程.
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示.
由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
10.如图，若F1，F2是双曲线 ＝1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
则a＝3，b＝4，c＝5，设点M到另一个焦点的距离为m，由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，即点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.
因为P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，代入|PF1|·|PF2|＝32，可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，所以△F1PF2为直角三角形，
A.10厘米 B.20厘米C.30厘米 D.40厘米
因为双曲线焦点在x轴上，由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以2a＝16，可得a＝8，
因为瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为10，
解得y＝±10，所以颈部高为20厘米.
12.双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于A.1 B.4 C.7 D.9
设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∵∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.
13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是A.双曲线的一支 B.圆C.椭圆 D.双曲线
设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1，又|O1O2|＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
所以|yP|＝4，所以选项A错误；
则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，所以选项C正确；
设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.因为 ＋8，
16.△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
设顶点A的坐标为(x，y)，
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
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