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华师大版七年级上册1 平行线当堂达标检测题
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这是一份华师大版七年级上册1 平行线当堂达标检测题，共25页。试卷主要包含了平行线，平行线的判定，平行线的性质等内容，欢迎下载使用。
5.2 平行线
1.平行线
2.平行线的判定
1．（2020·洛阳孟津期末）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ A ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
2．（2020·南阳邓州期末）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ C ）
A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE
3．（2020·南阳内乡期末）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ C ）
A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE
4．（2020·新乡卫辉期末）如图，能判定EB∥AC的条件是（ D ）
A．∠C＝∠ABE B．∠BAC＝∠EBD C．∠ABC＝∠BAE D．∠BAC＝∠ABE
5．（2018•河南）如图，不能判定AB∥CD的是（ D ）
A．∠B＝∠DCE B．∠A＝∠ACD
C．∠B+∠BCD＝180° D．∠A＝∠DCE
6．（2020·南阳南召期末）如图，写出一个能判定EC∥AB的条件是 ∠A＝∠ACE（答案不唯一） ．
3.平行线的性质
1．（2020·南阳南召期末）如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（ A ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．（2020·南阳南召期末）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ C ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
3．（2020·新乡卫辉期末）如图，∠CED＝60°，DF⊥AB于点F，DM∥AC交AB于点M，DE∥AB交AC于点E，则∠MDF的度数是（ C ）
A．60° B．40° C．30° D．20°
4．（2020·南阳方城期末）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（ D ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．（2020·驻马店上蔡期末）如图，AB∥CD，CB平分∠ECD交AB于点B，若∠ECD＝60°，则∠B的度数为（ B ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．（2020·驻马店上蔡期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB∥CD，∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数是（ B ）
A．28° B．34° C．46° D．56°
7．（2020·驻马店上蔡期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠2＝∠3；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠5﹣∠2＝90°，其中正确的个数是（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020·洛阳洛宁期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝60°，则∠2的度数为（ D ）
A．60° B．45° C．50° D．30°
9．（2020·洛阳洛宁期末）如图，如果∠1＝∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（ C ）
（1）FG∥DC；（2）∠AED＝∠ACB；（3）CD平分∠ACB；（4）∠1+∠B＝90°；（5）∠BFG＝∠BDC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020·新乡辉县期末）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（ D ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．（2020·新乡卫辉期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝26°，则∠AED′等于（ C ）
A．68° B．64° C．58° D．26°
12．（2020·洛阳孟津期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（ B ）
A．15° B．25° C．35° D．65°
13．（2020·南阳唐河期末）如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地在A地的北偏东43°的方向上，那么从B地测得C地在B地的（ D ）
A．南偏西43° B．南偏东43° C．北偏东47° D．北偏西47°
14．（2020·洛阳孟津期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ B ）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
15.（2020·洛阳三模）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数是（ B ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
16.（2020·南阳一模）一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（ D ）
A．35° B．30° C.25° D.15°
17．（2020·河南百校联盟一模）如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝80°，则∠A的大小为（ C ）
A．20 B．25° C．30° D．40°
18.（2020·洛阳孟津一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ C ）
A.30° B.20° C.15° D.14°
19．（2020·河南模拟）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ C ）
A．52° B．54° C．64° D．69°
20．（2016•河南）如图，已知a∥b，将含30°角的三角尺如图放置，∠1＝110°，则∠2的度数为（ C ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
21．（2019•河南）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（ B ）
A．45° B．48° C．50° D．58°
22．（2020•河南）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ B ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
23．（2020·新乡辉县期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝ 270 度．
24．（2020·洛阳洛宁期末）如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝ 130 度．
25．（2020·洛阳洛宁期末）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝110°，∠2＝40°，则∠3＝ 70 °．
26．（2020·洛阳洛宁期末）一副直角三角板如上图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝ 15 °．
27．（2020·南阳唐河期末）如图，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角有 ∠ADE、∠EFC、∠DEF、∠B ．
28．（2020·新乡卫辉期末）已知∠A和∠B的两边分别平行，若∠A＝71°22’，则∠B ＝108°38′或71°22′ ．
29．（2020·驻马店上蔡期末）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，如果∠1＝130°，那么∠2等于 80° ．
30．（2020·南阳邓州期末）已知，在同一平面内，∠ABC＝50°，AD∥BC，∠BAD的平分线交直线BC于点E，那么∠AEB的度数为 65°或25° ．
31．（2020·南阳方城期末）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应．若∠1＝65°，则∠2＝ 50 °．
32.（2020·洛阳二模）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为 75° .
33．（2020·河南百校联考模拟）如图，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为F，∠1＝43°，则∠2的度数为 47° ．
34．（2020·南阳南召期末）如图，已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：ME∥NF
解：∵AB∥CD，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴ME∥NF（ 内错角相等，两直线平行 ）
由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 内错 角的平分线互相 平行 ．
35．（2020·南阳内乡期末）已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
解：（1）∵EF∥CD，
∴∠1+∠ECD＝180°.
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠ECD，
∴GD∥CA.
（2）由（1），得GD∥CA，
∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2.
∵DG平分∠CDB，
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∴∠ACD＝∠2＝40°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．
36．（2020·南阳内乡期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则AD∥BE．完成下列推理过程：
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4＝ ∠BAE （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝ ∠BAE （ 等量代换 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2
即∠ BAE ＝∠ DAC
∴∠3＝ ∠DAC
∴AD∥BE（ 内错角相等，两直线平行 ）
37．（2020·南阳方城期末）已知，如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠B+∠BDG＝180°，试说明∠BEF＝∠CDG．
将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（ 已知 ）
∴EF∥ CD （ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）
∴∠BEF＝ ∠BCD （ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥ DG （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠CDG＝ ∠BCD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠CDG＝∠BEF（ 等量代换 ）
38．（2020·洛阳洛宁期末）如图，在△ABC中，点E、H在BC上，EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，点G在AC上，∠AGD＝∠ACB，试说明∠1+∠2＝180°．
解：∵EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，
∴∠BFE＝∠BDH＝90°，
∴EF∥HD；
∴∠2+∠DHB＝180°.
∵∠AGD＝∠ACB，
∴DG∥BC，
∴∠1＝∠DHB，
∴∠1+∠2＝180°．
39．（2020·洛阳孟津期末）阅读下面的证明过程，指出其错误．（在错误部分下方划线）
已知△ABC
求证：∠A+∠B+∠C＝180°
（1）证明：过A作DE∥BC，且使∠1＝∠C
∵DE∥BC（作图）
∴∠2＝∠B（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠C（作图）
∴∠B+∠C+∠3＝∠2+∠1+∠3（等量代换）
∠2+∠1+∠3＝180°（周角的定义）
即∠BAC+∠B+∠C＝180°（等量代换）
（2）类比探究：请同学们参考图2，模仿（1）的解决过程，避免（1）中的错误，试说明求证：∠A+∠B+∠C＝180°
解：（1）证明：过A作DE∥BC，且使∠1＝∠C
∵DE∥BC（作图）
∴∠2＝∠B（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠C（作图）
∴∠B+∠C+∠3＝∠2+∠1+∠3（等量代换）
∠2+∠1+∠3＝180°（周角的定义）
即∠BAC+∠B+∠C＝180°（等量代换）
（2）如图2，证明：延长AB到E，过点B作BF∥AC．
∵BF∥AC（作图）
∴∠1＝∠C （两直线平行内错角相等）
∠2＝∠A （ 两直线平行同位角相等）
∵∠2+∠1+∠ABC＝180°（平角的定义）
∴∠A+∠ABC+∠C＝180°（等量代换）．
40．（2020·南阳唐河期末）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ 垂直的定义 ），
∴EF∥AD（ 同位角相等两直线平行 ），
∴ ∠1 +∠2＝180°（ 两直线平行同旁内角互补 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等 ），
∴AB∥ DG （ 内错角相等两直线平行 ），
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行同位角相等 ）．
41．（2020·新乡卫辉期末）如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试猜想AB与CD之间有怎样的位置关系？并说明理由．
解：AB∥CD.理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）（2分）
∴∠EDA＝∠C（两直线平行，同位角相等）（3分）
又∵∠A＝∠C（已知）
∴∠A＝∠EDA（等量代换）（5分）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）（6分）
42．（2020·新乡卫辉期末）（1）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．
证明：如图①过点E作EF∥AB．
∴∠A＝∠1（ ）
∵AB∥CD（已知）
EF∥AB（辅助线作法）
∴CD∥EF（ ）
∴∠2＝∠DCE （ ）
∵∠AEC＝∠1+∠2
∴∠AEC＝∠A+∠DCE （ ）
（2）【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°
（3）【应用】如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为 ．（请直接写出答案）
解：（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图②所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
（3）同（2），得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
43．（2020·洛阳孟津期末）综合与探究
如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠ABN、∠CBD的度数；根据下列求解过程填空．
解：∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝ 120° ，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝ 2∠PBD ，（ 角平分线的定义 ）
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝ 60° ．
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分线的定义），
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．
故答案为120°，2∠PBD，角平分线的定义，60°．
（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化．
理由是：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行内错角相等），
∵BD平分∠PBN（已知），
∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义），
∴∠APB＝∠PBN═2∠DBN＝2∠ADB（等量代换），
即∠APB＝2∠ADB．
（3）结论：∠ABC＝30°．
理由：∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°
44．（2020·南阳邓州期末）已知如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
（1）判断BD与CE是否平行，并说明理由；
（2）说明∠A＝∠F的理由．
解：（1）BD∥CE.理由如下：
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴BD∥CE；
（2）理由如下：∵BD∥CE，
∴∠C＝∠4．
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
45．（2020·南阳邓州期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含α，β的式子表示（不写理由）．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD．
∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，
∴2∠1+60°+∠1＝180°，解得∠1＝40°；
（2）如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD．
∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP．
∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）α+β＝300°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°．
即α﹣30°+β﹣90°＝180°，
整理得α+β＝180°+120°＝300°．
46．（2020·驻马店上蔡期末）如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠A＝∠F，请说明理由．
解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠DGF，
∴∠1＝∠DGF，
∴BD∥CE，
∴∠3+∠C＝180°．
又∵∠3＝∠4，
∴∠4+∠C＝180°，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F．
47．（2020·南阳南召期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
（1）天天同学看过图形后立即口答出：∠APC＝110°，请你补全他的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．（ ）
∴∠A+∠APE＝180°．
∠C+∠CPE＝180°．（ ）
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（ ）
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠A+∠APE＝180°．
∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（等量代换）
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；等量代换．
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，
过P作PE∥AD交CD于E，
同（2）可知：∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，
同（2）可知：∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠α﹣∠β．
48．（2020·新乡辉县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．
解：∵∠1＝35°，∠2＝35°
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）；
∴（ AC ）∥（ BD ）（ 同位角相等，两直线平行 ）；
又∵AC⊥AE
∴∠EAC＝90°；
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝（ 125° ）（ 等式的性质 ）；
同理可得∠FBD+∠2＝（ 125° ）
∴（ AE ）∥（ BF ）（ 同位角相等，两直线平行 ）
49．（2020·新乡辉县期末）（1）如图1，AB∥CD，∠A＝33°，∠C＝40°，求∠APC的度数．（提示：作PE∥AB）．
（2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP＝∠α，∠DCP＝∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在射线DM上运动，请你直接写出∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系．
解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，
∵∠A＝33°，∠C＝40°，
∴∠APE＝33°，∠CPE＝40°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝33°+40°＝73°；
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝∠α，∠CPE＝∠PCD＝∠β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如图3，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB＝∠APE＝∠α，∠PCD＝∠CPE＝∠β，
∵∠APC＝∠APE﹣∠CPE，
∴∠APC＝∠α﹣∠β．
50．（2020·南阳唐河期末）课题学习：平行线的“等角转化功能．
（1）问题情景：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
天天同学看过图形后立即想出：∠BAC+∠B+∠C＝180°，请你补全他的推理过程．
解：（1）如图1，过点A作ED∥BC，∴∠B＝ ，∠C＝ ．
又∵∠EAB+∠BAC+∠CAD＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）问题迁移：如图2，AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
（3）方法运用：如图3，AB∥CD，点C在D的右侧，∠ADC＝70°，点B在A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
解：（1）∵ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC.
（2）∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD.
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF.
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°.
（3）如图3，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF.
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．
故答案为：∠EAB，∠DAC．
5.2 平行线
1.平行线
2.平行线的判定
1．（2020·洛阳孟津期末）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ A ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
2．（2020·南阳邓州期末）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ C ）
A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE
3．（2020·南阳内乡期末）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ C ）
A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE
4．（2020·新乡卫辉期末）如图，能判定EB∥AC的条件是（ D ）
A．∠C＝∠ABE B．∠BAC＝∠EBD C．∠ABC＝∠BAE D．∠BAC＝∠ABE
5．（2018•河南）如图，不能判定AB∥CD的是（ D ）
A．∠B＝∠DCE B．∠A＝∠ACD
C．∠B+∠BCD＝180° D．∠A＝∠DCE
6．（2020·南阳南召期末）如图，写出一个能判定EC∥AB的条件是 ∠A＝∠ACE（答案不唯一） ．
3.平行线的性质
1．（2020·南阳南召期末）如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（ A ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．（2020·南阳南召期末）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ C ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
3．（2020·新乡卫辉期末）如图，∠CED＝60°，DF⊥AB于点F，DM∥AC交AB于点M，DE∥AB交AC于点E，则∠MDF的度数是（ C ）
A．60° B．40° C．30° D．20°
4．（2020·南阳方城期末）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（ D ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．（2020·驻马店上蔡期末）如图，AB∥CD，CB平分∠ECD交AB于点B，若∠ECD＝60°，则∠B的度数为（ B ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．（2020·驻马店上蔡期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB∥CD，∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数是（ B ）
A．28° B．34° C．46° D．56°
7．（2020·驻马店上蔡期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠2＝∠3；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠5﹣∠2＝90°，其中正确的个数是（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020·洛阳洛宁期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝60°，则∠2的度数为（ D ）
A．60° B．45° C．50° D．30°
9．（2020·洛阳洛宁期末）如图，如果∠1＝∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（ C ）
（1）FG∥DC；（2）∠AED＝∠ACB；（3）CD平分∠ACB；（4）∠1+∠B＝90°；（5）∠BFG＝∠BDC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020·新乡辉县期末）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（ D ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．（2020·新乡卫辉期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝26°，则∠AED′等于（ C ）
A．68° B．64° C．58° D．26°
12．（2020·洛阳孟津期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（ B ）
A．15° B．25° C．35° D．65°
13．（2020·南阳唐河期末）如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地在A地的北偏东43°的方向上，那么从B地测得C地在B地的（ D ）
A．南偏西43° B．南偏东43° C．北偏东47° D．北偏西47°
14．（2020·洛阳孟津期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ B ）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
15.（2020·洛阳三模）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数是（ B ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
16.（2020·南阳一模）一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（ D ）
A．35° B．30° C.25° D.15°
17．（2020·河南百校联盟一模）如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝80°，则∠A的大小为（ C ）
A．20 B．25° C．30° D．40°
18.（2020·洛阳孟津一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ C ）
A.30° B.20° C.15° D.14°
19．（2020·河南模拟）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ C ）
A．52° B．54° C．64° D．69°
20．（2016•河南）如图，已知a∥b，将含30°角的三角尺如图放置，∠1＝110°，则∠2的度数为（ C ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
21．（2019•河南）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（ B ）
A．45° B．48° C．50° D．58°
22．（2020•河南）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ B ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
23．（2020·新乡辉县期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝ 270 度．
24．（2020·洛阳洛宁期末）如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝ 130 度．
25．（2020·洛阳洛宁期末）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝110°，∠2＝40°，则∠3＝ 70 °．
26．（2020·洛阳洛宁期末）一副直角三角板如上图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝ 15 °．
27．（2020·南阳唐河期末）如图，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角有 ∠ADE、∠EFC、∠DEF、∠B ．
28．（2020·新乡卫辉期末）已知∠A和∠B的两边分别平行，若∠A＝71°22’，则∠B ＝108°38′或71°22′ ．
29．（2020·驻马店上蔡期末）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，如果∠1＝130°，那么∠2等于 80° ．
30．（2020·南阳邓州期末）已知，在同一平面内，∠ABC＝50°，AD∥BC，∠BAD的平分线交直线BC于点E，那么∠AEB的度数为 65°或25° ．
31．（2020·南阳方城期末）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应．若∠1＝65°，则∠2＝ 50 °．
32.（2020·洛阳二模）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为 75° .
33．（2020·河南百校联考模拟）如图，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为F，∠1＝43°，则∠2的度数为 47° ．
34．（2020·南阳南召期末）如图，已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：ME∥NF
解：∵AB∥CD，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴ME∥NF（ 内错角相等，两直线平行 ）
由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 内错 角的平分线互相 平行 ．
35．（2020·南阳内乡期末）已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
解：（1）∵EF∥CD，
∴∠1+∠ECD＝180°.
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠ECD，
∴GD∥CA.
（2）由（1），得GD∥CA，
∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2.
∵DG平分∠CDB，
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∴∠ACD＝∠2＝40°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．
36．（2020·南阳内乡期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则AD∥BE．完成下列推理过程：
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4＝ ∠BAE （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝ ∠BAE （ 等量代换 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2
即∠ BAE ＝∠ DAC
∴∠3＝ ∠DAC
∴AD∥BE（ 内错角相等，两直线平行 ）
37．（2020·南阳方城期末）已知，如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠B+∠BDG＝180°，试说明∠BEF＝∠CDG．
将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（ 已知 ）
∴EF∥ CD （ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）
∴∠BEF＝ ∠BCD （ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥ DG （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠CDG＝ ∠BCD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠CDG＝∠BEF（ 等量代换 ）
38．（2020·洛阳洛宁期末）如图，在△ABC中，点E、H在BC上，EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，点G在AC上，∠AGD＝∠ACB，试说明∠1+∠2＝180°．
解：∵EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，
∴∠BFE＝∠BDH＝90°，
∴EF∥HD；
∴∠2+∠DHB＝180°.
∵∠AGD＝∠ACB，
∴DG∥BC，
∴∠1＝∠DHB，
∴∠1+∠2＝180°．
39．（2020·洛阳孟津期末）阅读下面的证明过程，指出其错误．（在错误部分下方划线）
已知△ABC
求证：∠A+∠B+∠C＝180°
（1）证明：过A作DE∥BC，且使∠1＝∠C
∵DE∥BC（作图）
∴∠2＝∠B（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠C（作图）
∴∠B+∠C+∠3＝∠2+∠1+∠3（等量代换）
∠2+∠1+∠3＝180°（周角的定义）
即∠BAC+∠B+∠C＝180°（等量代换）
（2）类比探究：请同学们参考图2，模仿（1）的解决过程，避免（1）中的错误，试说明求证：∠A+∠B+∠C＝180°
解：（1）证明：过A作DE∥BC，且使∠1＝∠C
∵DE∥BC（作图）
∴∠2＝∠B（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠C（作图）
∴∠B+∠C+∠3＝∠2+∠1+∠3（等量代换）
∠2+∠1+∠3＝180°（周角的定义）
即∠BAC+∠B+∠C＝180°（等量代换）
（2）如图2，证明：延长AB到E，过点B作BF∥AC．
∵BF∥AC（作图）
∴∠1＝∠C （两直线平行内错角相等）
∠2＝∠A （ 两直线平行同位角相等）
∵∠2+∠1+∠ABC＝180°（平角的定义）
∴∠A+∠ABC+∠C＝180°（等量代换）．
40．（2020·南阳唐河期末）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ 垂直的定义 ），
∴EF∥AD（ 同位角相等两直线平行 ），
∴ ∠1 +∠2＝180°（ 两直线平行同旁内角互补 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等 ），
∴AB∥ DG （ 内错角相等两直线平行 ），
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行同位角相等 ）．
41．（2020·新乡卫辉期末）如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试猜想AB与CD之间有怎样的位置关系？并说明理由．
解：AB∥CD.理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）（2分）
∴∠EDA＝∠C（两直线平行，同位角相等）（3分）
又∵∠A＝∠C（已知）
∴∠A＝∠EDA（等量代换）（5分）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）（6分）
42．（2020·新乡卫辉期末）（1）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．
证明：如图①过点E作EF∥AB．
∴∠A＝∠1（ ）
∵AB∥CD（已知）
EF∥AB（辅助线作法）
∴CD∥EF（ ）
∴∠2＝∠DCE （ ）
∵∠AEC＝∠1+∠2
∴∠AEC＝∠A+∠DCE （ ）
（2）【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°
（3）【应用】如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为 ．（请直接写出答案）
解：（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图②所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
（3）同（2），得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
43．（2020·洛阳孟津期末）综合与探究
如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠ABN、∠CBD的度数；根据下列求解过程填空．
解：∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝ 120° ，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝ 2∠PBD ，（ 角平分线的定义 ）
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝ 60° ．
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分线的定义），
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．
故答案为120°，2∠PBD，角平分线的定义，60°．
（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化．
理由是：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行内错角相等），
∵BD平分∠PBN（已知），
∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义），
∴∠APB＝∠PBN═2∠DBN＝2∠ADB（等量代换），
即∠APB＝2∠ADB．
（3）结论：∠ABC＝30°．
理由：∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°
44．（2020·南阳邓州期末）已知如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
（1）判断BD与CE是否平行，并说明理由；
（2）说明∠A＝∠F的理由．
解：（1）BD∥CE.理由如下：
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴BD∥CE；
（2）理由如下：∵BD∥CE，
∴∠C＝∠4．
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
45．（2020·南阳邓州期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含α，β的式子表示（不写理由）．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD．
∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，
∴2∠1+60°+∠1＝180°，解得∠1＝40°；
（2）如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD．
∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP．
∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）α+β＝300°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°．
即α﹣30°+β﹣90°＝180°，
整理得α+β＝180°+120°＝300°．
46．（2020·驻马店上蔡期末）如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠A＝∠F，请说明理由．
解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠DGF，
∴∠1＝∠DGF，
∴BD∥CE，
∴∠3+∠C＝180°．
又∵∠3＝∠4，
∴∠4+∠C＝180°，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F．
47．（2020·南阳南召期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
（1）天天同学看过图形后立即口答出：∠APC＝110°，请你补全他的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．（ ）
∴∠A+∠APE＝180°．
∠C+∠CPE＝180°．（ ）
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（ ）
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠A+∠APE＝180°．
∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（等量代换）
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；等量代换．
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，
过P作PE∥AD交CD于E，
同（2）可知：∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，
同（2）可知：∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠α﹣∠β．
48．（2020·新乡辉县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．
解：∵∠1＝35°，∠2＝35°
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）；
∴（ AC ）∥（ BD ）（ 同位角相等，两直线平行 ）；
又∵AC⊥AE
∴∠EAC＝90°；
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝（ 125° ）（ 等式的性质 ）；
同理可得∠FBD+∠2＝（ 125° ）
∴（ AE ）∥（ BF ）（ 同位角相等，两直线平行 ）
49．（2020·新乡辉县期末）（1）如图1，AB∥CD，∠A＝33°，∠C＝40°，求∠APC的度数．（提示：作PE∥AB）．
（2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP＝∠α，∠DCP＝∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在射线DM上运动，请你直接写出∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系．
解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，
∵∠A＝33°，∠C＝40°，
∴∠APE＝33°，∠CPE＝40°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝33°+40°＝73°；
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝∠α，∠CPE＝∠PCD＝∠β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如图3，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB＝∠APE＝∠α，∠PCD＝∠CPE＝∠β，
∵∠APC＝∠APE﹣∠CPE，
∴∠APC＝∠α﹣∠β．
50．（2020·南阳唐河期末）课题学习：平行线的“等角转化功能．
（1）问题情景：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
天天同学看过图形后立即想出：∠BAC+∠B+∠C＝180°，请你补全他的推理过程．
解：（1）如图1，过点A作ED∥BC，∴∠B＝ ，∠C＝ ．
又∵∠EAB+∠BAC+∠CAD＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）问题迁移：如图2，AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
（3）方法运用：如图3，AB∥CD，点C在D的右侧，∠ADC＝70°，点B在A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
解：（1）∵ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC.
（2）∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD.
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF.
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°.
（3）如图3，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF.
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．
故答案为：∠EAB，∠DAC．
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