2022年中考数学基础题提分讲练专题：12 锐角三角函数（含答案）

这是一份2022年中考数学基础题提分讲练专题：12 锐角三角函数（含答案），共27页。试卷主要包含了正弦，余弦，正切，余切，锐角三角函数，三角函数值的变化规律，同角三角函数关系公式等内容，欢迎下载使用。
必考点1
锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，
1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作
3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作
4、余切：把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作
说明：由定义可以看出tanA·ctA＝l（或写成）
5、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
说明：锐角三角函数都不能取负值。
0＜ sinA＜ l； 0＜csA＜；l
6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
即sinA＝cs（90°一 A）＝csB；csA＝sin（90°一A）＝sinB
7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即tanA＝ct（90°一 A）＝ctB；ctA＝tan（90°－A）＝ tanB
说明：式中的90°一A = B 。
8、三角函数值的变化规律
（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
9、同角三角函数关系公式
（1）；（2）；（3） tanA＝
10．一些特殊角的三角函数值
【典例1】如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
选项A，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，
选项A正确；
选项B，在Rt△ABC中，tanα＝，
即BC＝m•tanα，
选项B正确；
选项C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，
选项C错误；
选项D，∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，BD＝，
选项D正确.
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
【举一反三】
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )
A．B．3C．D．2
【答案】D
【解析】
设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC=，
tanB===，
故选D．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．
2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如图，过作于，则，
AC＝＝5．
．
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则次斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75mB．50mC．30mD．12m
【答案】A
【解析】
解：因为，又BC＝30，所以，，解得：AC＝75m，所以，故选A.
【点睛】
本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.
必考点2 解直角三角形及其应用
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5个元素之间有关系：
（l）；（2）∠A十∠B＝90°；
（3）；；；
所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。

【典例2】如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米
【答案】D
【解析】
解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选D．
【点睛】
此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
【举一反三】
1.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A． n mileB．60 n mileC．120 n mileD．n mile
【答案】D
【解析】
过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cs∠ACD=，
∴CD=AC•cs∠ACD=60×．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30，
∴AB=AD+BD=30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
2．如图，在中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：过点A作，垂足为D，如图所示．
在中，，
；
在中，，
，
．
故选：D．
【点睛】
考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
3．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故选B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cs∠BDC＝，则BC的长是（ ）
A．10B．8C．4D．2
【答案】D
【解析】
∵∠C＝90°，cs∠BDC＝，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2；
故选D.
【点睛】
本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键.
2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【解析】
解：由题意可得：，
故．
故选：A
【点睛】
考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键.
3．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为5，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出．
4．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角为（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据，，）
A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米
【答案】B
【解析】
解：过点E作与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比），米，
∴设，则．
在中，
∵，即，解得，
∴米，米，
∴米，米．
∵，，，
∴四边形EGBM是矩形，
∴米，米．
在中，
∵，
∴米，
∴米．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．在△ABC中∠C＝90°，tanA＝，则csB＝_____．
【答案】
【解析】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设a＝x，b＝3x，则c＝2x，
∴csB＝．
故答案为．
【点睛】
此题考查的知识点是三角函数，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
6．如图，在中，，，，则的长为________．
【答案】
【解析】
过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．
【点睛】
本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.
7．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
【答案】2
【解析】
如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为2
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
8．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．
【答案】
【解析】
如图所示：
∵∠C=90°，tanA=，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，
则sinB=.
故答案为： ．
点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．
9．如图，在矩形ABCD中，，，H是AB的中点，将沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则__．
【答案】
【解析】
如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP，，
又∵H为AB的中点，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
10．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为_______．
【答案】
【解析】
∵在中，AB=5，BC=12，
∴．
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴CD=AC-AD=8．
在中，．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．
11．如图，一艘船以40nmile /h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为______nmile．(结果保留根号)
【答案】50
【解析】
解：根据题意，得：∠PAB=60°，∠PBA=30，AB=2.5×40=100(nmile)，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-60°-30°=90°．
在Rt△PAB中，PB=AB•sin∠PAB=100×=50(nmile)．
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形求出PB的长是解题的关键．
12．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为_______米（结果保留根号）．
【答案】一4
【解析】
因为∠MAD=45°, AM=4,所以MD=4，
因为AB=8，所以MB=12,
因为∠MBC=30°，所以CM=MBtan30°=4.
所以CD=4-4.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.
13．三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.
【答案】15﹣5.
【解析】
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM＝BC×sin30°＝＝5，
CM＝BC×cs30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5，
故答案是：15﹣5.
【点睛】
本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
14．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度. 图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD=. 若AO=85cm，BO=DO=65cm. 问: 当，较长支撑杆的端点离地面的高度约为_____.(参考数据:，.)
【答案】120.
【解析】
过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO=DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=×74°=37°，
∴∠FAB=∠BOE=37°，
在Rt△ABF中，AB=85+65=150cm，
∴h=AF=AB•cs∠FAB=150×0.8=120cm，
故答案为：120
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．
15．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【答案】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米
【解析】
解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，
∴CD=BC•sin30°=80×（千米），
AC=（千米），
AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；
（2）∵cs30°=，BC=80（千米），
∴BD=BC•cs30°=80×（千米），
∵tan45°=，CD=40（千米），
∴AD=（千米），
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
16．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【答案】此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．
则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．
∵DC∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形．
又∵∠CFE＝90°，
∴▱CDEF为矩形，
∴CF＝DE．
根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．
设DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，
∴AE＝＝x（nmile）．
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，
∴BE＝＝x（nmile）．
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，
∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，
∴CF＝DE＝（9+3）nmile．
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，
∴BC＝≈20（nmile）．
答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，通过解直角三角形求出BC的长是解题的关键．
17．如图，海中有两个小岛，，某渔船在海中的处测得小岛D位于东北方向上，且相距，该渔船自西向东航行一段时间到达点处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距，又测得点与小岛相距．
(1)求的值；
(2)求小岛，之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．
【答案】(1)；(2)小岛、相距.
【解析】
(1)如图，过点作，垂足为，
在中，，，
∴
在中，，
∴；
(2)过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，
在中，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
因此小岛、相距.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形，灵活运用相应三角形函数是解题的关键.
18．如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌，即．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离．测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小红在处测得标语牌顶部点的仰角为，，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点到地面的距离的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点，，，，，，在同一平面内）
（参考数据：，，
【答案】能，点到地面的距离的长约为．
【解析】
能，
理由如下：延长交于，
则，
，
，
设，则，
，
在中，，则，
，
解得，，
则，
答：点到地面的距离的长约为．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
27．天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知米，米，AB与水平线的夹角是，BC与水平线的夹角是．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度是多少米？(结果精确到1米，参考数据：)
【答案】检修人员上升的垂直高度为943米．
【解析】
如图，过点B作于点H．
在中，，，
(米)，
(米)，
在中，，，
，
，
检修人员上升的垂直高度(米)
答：检修人员上升的垂直高度为943米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
19．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。（小平面镜的大小忽略不计）
【答案】这棵古树的高AB为18m．
【解析】
如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5，
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°，
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴，即，
解得：BD＝17.5，
∴AB=17.5＋0.5＝18(m)，
∴这棵古树的高AB为18m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.