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    24.2.2 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆 初中数学人教版九年级上册学案

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    初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时导学案

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    这是一份初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时导学案,共8页。学案主要包含了知识链接,要点探究,课堂小结等内容,欢迎下载使用。


    第二十四章 

    24.2.2  直线和圆的位置关系

    3课时 切线长定理及三角形的内切圆

    学习目标1.掌握切线长的定义及切线长定理.

    1. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
    2. 认识三角形的内切圆及其有关概念,会作一个三角形的内切圆,掌握内心

    的性质.

    重点1.掌握切线长的定义及切线长定理.

    2.认识三角形的内切圆及其有关概念,会作一个三角形的内切圆,掌握内心的性质.

    难点:初步学会运用切线长定理进行计算与证明.

     

    自主学习

    一、知识链接

    1.切线的判定定理和性质定理是什么?

     

     

    2.角平分线的判定定理和性质定理是什么?

     

     

    课堂探究

     

    二、要点探究

    探究点1:切线长定理及应用

    问题1  上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(图所示),如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢?过圆外的一点作圆的切线,可以作几条?

                  

     

    知识要点:

    1.切线长的定义:

    经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

     

    2.切线长与切线的区别在哪里?

     

     

     

    问题2  PAO的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B.图中OBO的一条半径吗?PBO的切线吗?PAPB有何关系?APOBPO有何关系?

    要点归纳:

    切线长定理:

    过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

     

    推理验证  已知如图PAPBO的两条切线,AB为切点.求证:PA=PBAPO=∠BPO.

     

    想一想:若连接两切点ABABOP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.

     

    典例精析

    1  已知:如图,四边形ABCD的边ABBCCDDAO分别相切与点EFGH.求证:AB+CD=AD+BC.

    变式训练

    如图,四边形ABCDO的外切四边形,且AB=10CD=15,则四边形ABCD的周长为______

     

     

     

    2  为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法:将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径,若三角板与圆相切且测得PA=5cm,求铁环的半径.

    方法总结:切线长定理包括线段相等和角相等两个结论,解题时应有选择地应用,它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.

    练一练

    PAPBO的两条切线,AB是切点,OA=3.

    (1)  AP=4,则OP=         

    (2)  (2) BPA=60°,则OP=     .

     

    探究点2:三角形的内切圆及作法

    互动探究 小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工:裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?

     

     

     

    问题1  如果最大圆存在,它与三角形三边应有怎样的位置关系?

     

    问题2  如何求作一个圆,使它与已知三角形的三边都相切?

    (1) 如果半径为rIABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件?

    (2) ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢?

     

     

    做一做 

    已知:ABC.

    求作:和ABC的各边都相切的圆O.

     

     

     

    知识要点:1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.   3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.

     

    探究点3:三角形的内心的性质

    问题1  如图,OABC的内切圆,那么线段OAOBOC有什么特点?

    问题2  如图,分别过点OABACBC的垂线,垂足分别为EFG,那么线段OEOFOG之间有什么数量关系?

     

    知识要点:三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.

     

    3  如图,ABC中,B=43°C=61°,点IABC的内心,求BIC的度数.

     

    4  ABC的内切圆OBCCAAB分别相切于点DEF,且AB=13BC=14CA=9,求AFBDCE的长.

     

    方法总结:关键是熟练运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.

     

    比一比:

    名称

    确定方法

    图形

    性质

    外心:三角形外接圆的圆心

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    内心:三角形内切圆的圆心

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    三、课堂小结

    切线长

    定义

    切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

    切线长定理

    定理

    从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.

    作用

    提供了证线段和角相等的新方法

    辅助线作法

    分别连接圆心和切点;

    连接两切点;

    连接圆心和圆外一点.

    三角形内切圆

    有关概念

    与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三角角平分线的交点,叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边距离相等.

    应用

    运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.

     

     

    当堂检测

     

     

    1.如图,PAPBO的两条切线,切点分别是ABAP=4APB= 40°,则APO=      °PB=      .

                  

                     1题图            2题图

    2.如图,OABC的内切圆,AC=10AB=8BC=9,点DE分别为BCAC上的点,且DEO的切线,则CDE的周长为________.

     

    3.如图,在ABC中,点I是内心,

    (1)ABC=50°ACB=70°BIC=      °

    (2)A=80 °,则BIC =      °

    (3)BIC=100 °,则A =      °

    (4)试探索: ABIC之间存在怎样的数量关系?

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    4.如图,在ABC中,B90°OAB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC相切于点D.求证:DEOC.

     

     

    5.如图,ABC中,I是内心,A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证:DIDB.

     

      

     

     

     

     

     

     

     

    参考答案

    自主学习

    一、知识链接

    1.   切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

    切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径

    1.   角平分线的性质定理:角的平分线上的点到角两边的距离相等.

    角平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

     

    课堂探究

    二、要点探究

    探究点1切线长定理及应用

    问题1连接OP,以OP的中点为圆心,OP的一半为半径作圆,与O交于点AB,连接PAPB,直线PAPB即为所求做的切线.过圆外的一点,可以作圆的两条切线.

    知识要点切线是直线,不能度量.②切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是 

    圆外一点和切点,可以度量.

    问题2OB☉O的一条半径,PBO的切线,PA=PBAPO=∠BPO.

    推理验证:证明:PAPB☉O的两条切线OAPAOBPB.

    OA=OBOP=OPRtOAPRtOBPPA=PBAPO=∠BPO.

    想一想   解:OP垂直平分AB.

    证明:PAPBO的切线,点AB是切点PA = PBOPA=∠OPB

    ∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.

     

    典例精析

    1 证明:ABBCCDDAO分别相切与点EFGHAE=AHBE=BFCG=CFDG=DH.∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.

    变式训练   50

    2 解:设铁环的圆心为O连接OPOA.APABO的切线,OPAPPAO=∠BAO.∵∠BAC60°PAOBAOBAC180°∴∠PAOBAO60°.∴∠POA30°.RtOPA中,PA5POA30°OA=2PA=10OP=即铁环的半径为

    练一练: 1 5    2 6

    探究点2:三角形的内切圆及作法

    问题1  最大的圆与三角形三边都相切

    问题2  圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线,其交点即为所求作的圆心I.

    做一做

    作法:

    1.ABCACB的平分线BMCN,交点为O.

    2.过点OODBC,垂足为D.

    3.O为圆心,OD为半径作圆O.

    O就是所求的圆.

    探究点3:三角形的内心的性质

    问题1  OAOBOC 分别平分CABABCBCA.

    问题2  OE=OF=OG

    3  解:连接IBIC.∵IABC的内心,BICI分别平分ABCACB,在IBC中,BIC=180°-IBC+∠ICB=180°-(ABC+∠ACB)=180°-43°+61°=128°.

    4 解:设AF=x cm,则AE=x cm.∴CE=CD =AC-AE=9-xBF=BD=AB-AF=13-x. BD+CD=BC,可得 (13-x)+(9-x)=14,解得x=4.∴ AF=4cmBD=9cmCE=5cm.

     

     

    比一比:

    名称

    确定方法

    图形

    性质

    外心:三角形外接圆的圆心

     

    三角形三边

    中垂线的交

     

    1.OA=OB=OC

    2.外心不一定在三角形的内部.

     

    内心:三角形内切圆的圆心

    三角形三条

    角平分线的

    交点

     

    1.到三边的距离相等;

    2.OAOBOC分别平分BACABCACB

    3.内心在三角形内部.

     

    当堂检测

    1.20  4   2.11  3.1120  2130   320  4BIC=90°+A

    4.方法   证明:连接ODACODODAC∴∠ODC=∠B=90°.

    ODOBOCOCRtODCRtOBCHL.∴∠DOC=∠BOC.

    OD=OE∴∠ODE=∠OED.∵∠DOB=∠ODE+∠OED∴∠BOC=∠OEDDEOC

    方法  证明:连接BD,如图.∵BCABBCO于点BACO于点DBCO于点BDC=BCOC平分DCBOCBDBEO的直径,DEBDDEOC

    5.证明:连接BI.∵IABC的内心,AD平分BACIAD上,ABI =∠CBI.∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABIIBD=∠CBI+∠CBD∴∠BID=∠IBD.BD=ID

     

     

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