初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时导学案
展开这是一份初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时导学案,共8页。学案主要包含了知识链接,要点探究,课堂小结等内容,欢迎下载使用。
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
学习目标:1.掌握切线长的定义及切线长定理.
- 初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
- 认识三角形的内切圆及其有关概念,会作一个三角形的内切圆,掌握内心
的性质.
重点:1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.认识三角形的内切圆及其有关概念,会作一个三角形的内切圆,掌握内心的性质.
难点:初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
自主学习
一、知识链接
1.切线的判定定理和性质定理是什么?
2.角平分线的判定定理和性质定理是什么?
课堂探究
二、要点探究
探究点1:切线长定理及应用
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示),如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢?过圆外的一点作圆的切线,可以作几条?
知识要点:
1.切线长的定义:
经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
2.切线长与切线的区别在哪里?
问题2 PA为⊙O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B.图中OB是⊙O的一条半径吗?PB是⊙O的切线吗?PA、PB有何关系?∠APO和∠BPO有何关系?
要点归纳:
切线长定理:
过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
推理验证 已知:如图PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点.求证:PA=PB,∠APO=∠BPO.
想一想:若连接两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
典例精析
例1 已知:如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证:AB+CD=AD+BC.
变式训练
如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为______.
例2 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法:将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径,若三角板与圆相切且测得PA=5cm,求铁环的半径.
方法总结:切线长定理包括线段相等和角相等两个结论,解题时应有选择地应用,它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.
练一练
PA、PB是⊙O的两条切线,A,B是切点,OA=3.
(1) 若AP=4,则OP= ;
(2) (2) 若∠BPA=60°,则OP= .
探究点2:三角形的内切圆及作法
互动探究 小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工:裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?
问题1 如果最大圆存在,它与三角形三边应有怎样的位置关系?
问题2 如何求作一个圆,使它与已知三角形的三边都相切?
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件?
(2) 在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢?
做一做
已知:△ABC.
求作:和△ABC的各边都相切的圆O.
知识要点:1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
探究点3:三角形的内心的性质
问题1 如图,☉O是△ABC的内切圆,那么线段OA,OB,OC有什么特点?
问题2 如图,分别过点O作AB、AC、BC的垂线,垂足分别为E、F,G,那么线段OE、OF、OG之间有什么数量关系?
知识要点:三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.
例3 如图,△ABC中,∠ B=43°,∠C=61°,点I是△ABC的内心,求∠BIC的度数.
例4 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=13,BC=14,CA=9,求AF、BD、CE的长.
方法总结:关键是熟练运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.
比一比:
名称 | 确定方法 | 图形 | 性质 |
外心:三角形外接圆的圆心 |
|
|
|
内心:三角形内切圆的圆心 |
|
|
|
三、课堂小结
切线长 | 定义 | 切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. |
切线长定理 | 定理 | 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角. |
作用 | 提供了证线段和角相等的新方法 | |
辅助线作法 | ①分别连接圆心和切点; ②连接两切点; ③连接圆心和圆外一点. | |
三角形内切圆 | 有关概念 | 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三角角平分线的交点,叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边距离相等. |
应用 | 运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程. |
当堂检测
1.如图,PA、PB是☉O的两条切线,切点分别是A、B,若AP=4,∠APB= 40°,则∠APO= °,PB= .
第1题图 第2题图
2.如图,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,点D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线,则△CDE的周长为________.
3.如图,在△ABC中,点I是内心,
(1)若∠ABC=50°,∠ACB=70°,则∠BIC= °;
(2)若∠A=80 °,则∠BIC = °;
(3)若∠BIC=100 °,则∠A = °;
(4)试探索: ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系?
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC相切于点D.求证:DE∥OC.
5.如图,△ABC中,I是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证:DI=DB.
参考答案
自主学习
一、知识链接
- 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径
- 角平分线的性质定理:角的平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
课堂探究
二、要点探究
探究点1:切线长定理及应用
问题1:连接OP,以OP的中点为圆心,OP的一半为半径作圆,与☉O交于点A,B,连接PA,PB,直线PA,PB即为所求做的切线.过圆外的一点,可以作圆的两条切线.
知识要点:①切线是直线,不能度量.②切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点,可以度量.
问题2:OB是☉O的一条半径,PB是☉O的切线,PA=PB,∠APO=∠BPO.
推理验证:证明:∵PA、PB是☉O的两条切线,∴ OA⊥PA,OB⊥PB.
∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
想一想 解:OP垂直平分AB.
证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点∴PA = PB,∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.
典例精析
例1 证明:∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H,∴ AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.
变式训练 50
例2 解:设铁环的圆心为O,连接OP、OA.∵AP、AB为⊙O的切线,∴OP⊥AP,∠PAO=∠BAO.又∵∠BAC=60°,∠PAO+∠BAO+∠BAC=180°,∴∠PAO=∠BAO=60°.∴∠POA=30°.在Rt△OPA中,PA=5,∠POA=30°,∴OA=2PA=10,∴OP=即铁环的半径为
练一练: (1) 5 (2) 6
探究点2:三角形的内切圆及作法
问题1 最大的圆与三角形三边都相切
问题2 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线,其交点即为所求作的圆心I.
做一做
作法:
1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN,交点为O.
2.过点O作OD⊥BC,垂足为D.
3.以O为圆心,OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
探究点3:三角形的内心的性质
问题1 OA,OB,OC 分别平分∠CAB,∠ABC,∠BCA.
问题2 OE=OF=OG
例3 解:连接IB,IC.∵点I是△ABC的内心,∴BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB,在△IBC中,∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(43°+61°)=128°.
例4 解:设AF=x cm,则AE=x cm.∴CE=CD =AC-AE=9-x,BF=BD=AB-AF=13-x.由 BD+CD=BC,可得 (13-x)+(9-x)=14,解得x=4.∴ AF=4cm,BD=9cm,CE=5cm.
比一比:
名称 | 确定方法 | 图形 | 性质 |
外心:三角形外接圆的圆心 |
三角形三边 中垂线的交 点
| 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部.
| |
内心:三角形内切圆的圆心 | 三角形三条 角平分线的 交点
| 1.到三边的距离相等; 2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内部.
|
当堂检测
1.20 4 2.11 3.(1)120 (2)130 (3)20 (4)∠BIC=90°+∠A
4.方法① 证明:连接OD,∵AC切⊙O点D,∴OD⊥AC,∴∠ODC=∠B=90°.
∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL).∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED.∵∠DOB=∠ODE+∠OED,∴∠BOC=∠OED,∴DE∥OC.
方法② 证明:连接BD,如图.∵BC⊥AB,∴BC切⊙O于点B,∵AC切⊙O于点D,BC切⊙O于点B,∴DC=BC,OC平分∠DCB.∴OC⊥BD.∵BE为⊙O的直径,∴DE⊥BD.∴DE∥OC.
5.证明:连接BI.∵I是△ABC的内心,AD平分∠BAC,∴ 点I在AD上,∠ABI =∠CBI.∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBI+∠CBD,∴∠BID=∠IBD.∴BD=ID.
相关学案
这是一份初中人教版24.2.2 直线和圆的位置关系导学案,共4页。学案主要包含了学习目标,学习重难点,教学过程,学习小结,课后作业等内容,欢迎下载使用。
这是一份人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系优质第3课时导学案及答案,共4页。学案主要包含了学习目标,重点难点,课堂探究等内容,欢迎下载使用。
这是一份人教版九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系导学案,共21页。学案主要包含了题型特点分析,例题讲解,解题方法点拨,强化练习,参考答案等内容,欢迎下载使用。