初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时导学案

第二十四章  圆

24.2.2  直线和圆的位置关系

第2课时 切线的判定与性质

学习目标：1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.

2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.

3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.

重点：理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.

难点：能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.

自主学习

一、知识链接

1.直线和圆的位置关系有哪几种(画图表示)？ 

2.如何用数量关系来判断直线和圆的位置关系呢？

课堂探究

二、要点探究

探究点1：切线的判定定理

问题  已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？

思考  （1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系？

（2）二者位置有什么关系？为什么？

要点归纳：                                                  

切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

应用格式

OA为⊙O的半径，BC⊥OA于A，可推出BC为⊙O的切线.

判一判  下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？

方法总结：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.

要点归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：

1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；

2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；

3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

典例精析

例1  如图，线段AB是☉O上的直径，直线AC与AB交于点A，∠ABC=45°，且AB=AC.

求证：AC是☉O的切线.

方法总结：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.

例2  已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线．

方法总结：当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.

例3  如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC 是⊙O 的切线．

方法总结：当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.

要点归纳：

证切线时辅助线的添加方法：(1)有交点，连半径，证垂直；(2)无交点，作垂直，证半径.

探究点2：切线的性质定理

思考： 如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？

要点归纳：切线的性质——圆的切线垂直于经过切点的半径．

思考  如何证明切线的性质定理？

例4  如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B=25°，求∠P的度数.

练一练

1.如图1，在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=     °.

第1题图                       第2题图

2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°，若⊙O的半径长1cm，则CD=       cm.

方法总结：利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.

例5  如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB 与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．

要点归纳：

有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.

切线的其他重要结论：

（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

三、课堂小结

当堂检测

1.判断下列命题是否正确.

(1)经过半径外端的直线是圆的切线.                    (    )

(2)垂直于半径的直线是圆的切线.                      (    )

(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.  (    )                                                         

(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.              (    )

(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.        (    )

2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与⊙O的位置关系是    .

3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为 (    )

A．40°              B．35°               C．30°                 D．45°

4.如图，⊙O切PB于点B，PB=4，PA=2，则⊙O的半径多少？

5.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.

求证：PE是⊙O的切线.

6.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.

求证：△ACB≌△APO.

1.解：如图所示：

    相离            相切         相交

2.解：设圆心O到直线的距离为d，圆O的半径为r，则有

直线与圆相离       d＞r；直线与圆相切       d＝r；直线与圆相交       d＜r；

课堂探究

二、要点探究

探究点1：切线的判定定理

问题：如图所示，连接OA，过点A作OA的垂线AB，AB即为所求.

观察： 圆心O到直线AB的距离等于半径，OA⊥AB于点O.

判一判：解：(1)不是，因为没有垂直.(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.

典例精析

例1 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°，即AB⊥AC.  ∵AB是⊙O的直径，∴ AC是⊙O的切线.

例2  证明：连接OC.∵ OA＝OB，CA＝CB，∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　

∴ AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径，∴ AB是⊙O的切线.

例3  证明：如图，过D作DE ⊥AC于点E.∵∠ABC =90°，∴DB ⊥ AB.又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=DB=r.∵DE ⊥AC，∴AC是⊙O的切线.

探究点2：切线的性质定理

思考：  垂直

证法：反证法.

（1）假设AB与CD不垂直，过点O作OM⊥CD，垂足为M；

（2）则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.

（3）所以AB与CD垂直.

例4 解：连接OA.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.∵∠AOP=2∠B=50°，

∴∠P=180°－90°－50°=40°.

练一练： 1.60°  2.2

例5  证明：如图，连接OD，OA，过O 作OE ⊥AC于 E.∵⊙O 与AB 相切于D，

∴OD ⊥ AB.

又∵△ABC 为等腰三角形，O是BC的中点．∴AO平分∠BAC，又OD⊥AB，OE⊥AC.

∴OD＝OE.∵OD是⊙O半径，OE＝OD，OE⊥AC.∴AC是⊙O的切线．

当堂检测

1.   （1）×  （2）×  （3）√   （4）√    （5）√

2.   相切   3.C

4.解：连接OB，易知∠OBP=90°.设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OP=OA+PA=2+r.

在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得 r=3，即⊙O的半径为3.

5.证明：连接OP，如图.∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.

6.证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°．又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°．又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，∴△ACB≌△APO(SAS)．