山东省潍坊市2022届高三下学期数学二模试卷及答案

 高三下学期数学二模试卷

一、单选题

1．设M，N，U均为非空集合，且满足⫋⫋，则（　　）

A．M B．N C． D．

2．已知直线，，若，则(　　)

A． B． C．3 D．－3

3．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（　　）

A．2 B． C．-2 D．

4．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（　　）

A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解

B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

5．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有6个班，现将8个参赛名额分配给这6个班，每班至少1个参赛名额，则不同的分配方法共有（　　）

A．15种 B．21种 C．30种 D．35种

7．已知正实数a，b满足，则a+2b的最大值为（　　）

A． B． C． D．2

8．已知函数，直线，点在函数图像上，则以下说法正确的是(　　)

A．若直线l是曲线的切线，则

B．若直线l与曲线无公共点，则

C．若，则点P到直线l的最短距离为

D．若，当点P到直线l的距离最短时，

二、多选题

9．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（　　）

A．

B．

C．若是纯虚数，那么

D．若在复平面内对应的向量分别为（为坐标原点），则

10．已知函数的图象为C，则（　　）

A．图象C关于直线对称

B．图象C关于点中心对称

C．将的图象向左平移个单位长度可以得到图象C

D．若把图象C向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是奇函数

11．已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2，，且，则（　　）

A．平面ACD⊥平面ABC

B．球心O为△ABC的中心

C．直线OM与CD所成的角最小为

D．若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分

12．已知数列，，有，，，则（　　）

A．若存在，，则

B．若，则存在大于2的正整数n，使得

C．若，，且，则

D．若，，则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列

三、填空题

13．设随机变量X服从标准正态分布，那么对于任意a，记，已知，则=　     　．

14．若圆与圆的交点为A，B，则　     　．

15．已知定义在上的函数满足，且当时，图像与x轴的交点从左至右为O，，，，…，，…；图像与直线的交点从左至右为，，，…，，…．若，，，…，为线段上的10个不同的点，则　     　．

16．根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线，，E是其母线PB的中点．若平面过点E，且PB⊥平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为　     　；截面把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面的上方作一个半径最大的球M，在截面下方作一个半径最大的球N，则球M与球N的半径的比值为　     　．

四、解答题

17．如图，四边形的内角，，，，且．

（1）求；

（2）若点是线段上的一点，，求的值．

18．如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，，PA⊥底面ABC，M是PB上的动点，且，N是PC的中点．

（1）若时，记平面AMN与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明；

（2）若平面PBC与平面ABC所成的角为，点M到平面PAC的距离是，求的值．

19．已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．

（1）求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；

（2）设，求数列的前n项和．

20．已知函数．

（1）若，当时，求证：为单调递减函数；

（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围．

21．随着互联网的快速发展和应用，越来越多的人开始选择网上购买产品和服务．某网购平台为提高2022年的销售额，组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙三人计划在该购物平台分别参加三家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知三人在三家网店订单“秒杀”成功的概率均为，三人是否抢购成功互不影响．记三人抢购到的订单总数为随机变量．

（1）求的分布列及；

（2）已知每个订单由件商品构成，记三人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值．

22．已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率．

（1）若．

（ⅰ）求的渐近线方程；

（ⅱ）过点的直线l交的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线相交于，两点，记A，B，，的坐标分别为，，，，求证：；

（2）从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】D

5．【答案】C

6．【答案】B

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】B,C,D

10．【答案】A,C

11．【答案】A,B,D

12．【答案】A,C,D

13．【答案】0.4

14．【答案】

15．【答案】480

16．【答案】；

17．【答案】（1）解：设，

在中据余弦定理，得，即，①

又在中据余弦定理，得，即，②

因为，则，

联立①②可得，，因为，所以．

（2）解：在中，由正弦定理知，，

所以，

且，故，

在直角三角形中，由勾股定理知，，

此时

18．【答案】（1）解：直线平面PBC，

证明：当时，M是PB的中点，又因为N是PC的中点，

所以，又平面ABC，且平面ABC，

所以平面ABC，又平面AMN，且平面平面，

所以，又因为平面PBC，平面PBC，所以直线平面PBC．

（2）解：因为AC是圆O的直径，所以，

由勾股定理得，因为PA⊥平面ABC，平面ABC，

所以，又，，

所以BC⊥平面PBA，而平面PBA，故，

故∠PBA就是二面角的平面角，所以，

所以△PAB为等腰直角三角形，且，

以点B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面PAC的一个法向量为，

则，所以

令，则，得，

设，

所以点M到平面PAC的距，所以．

19．【答案】（1）解：①，，

当时，，∴或(舍)，

当时，②，

①－②：，∴，

∵，∴，

∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，，

∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列，

∴．

∵

，

∴，，成等差数列

（2）解：，

当n为偶数时，

．

当n为奇数时，

．

综上可知

20．【答案】（1）证明：若，则，

，

因为，，

，，

，在为单调递减函数

（2）解：，即，

令，，

则，

令，

，，，单调递减，

，，单调递增，

而，，

故在恒成立，

故在恒成立，

所以在为减函数，

所以，故，

所以实数a的取值范围是

21．【答案】（1）解：由题意知：的所有可能取值为，则，

，，，，

的分布列为：

（2）解：，．

令，则，，

则当时，；当时，；当时，；

取最小值时正整数的值为3或4

22．【答案】（1）证明：由题意得，，

所以，

又，解得，

（ⅰ）故双曲线的渐近线方程为，

（ⅱ）设直线AB的方程为，

则消元得，，，

且，所以，故，

又直线的方程为，

所以，同理，

所以

，

故；

（2）解：设两个切点，，由题意知，斜率存在，

直线的方程为，

联立由得，所以，

同理直线方程为，

由，过P点可得可得直线的方程为，

不妨设，直线与双曲线两渐近线交于两点，，

则围成三角形的面积，

因P在双曲线上，，

则为定值.