2021届山东省潍坊市高三数学三模试卷及答案

这是一份2021届山东省潍坊市高三数学三模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学三模试卷
一、单项选择题
1.全集 ，集合 ， ，那么集合 〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
1 ， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，那么z1z2=〔　　〕

A. -5                                        B. 5                                        C. -4+i                                        D. -4-i
3.某学校参加志愿效劳社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，从高二年级的学生中抽取了6人，那么从高三年级的学生中应抽取的人数为〔    〕
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
4.如图，在平行四边形 中， ，假设 ，那么 〔    〕

A.                                          B. 1                                         C.                                          D. 
5.“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
6.某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应缺乏使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为 ，〔 ，其中 表示5月1日， 表示6月1日，以此类推〕．假设 ，为保护农户的经济效应，当地政府方案在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为〔    〕
A. 5月和6月                           B. 6月和7月                           C. 7月和8月                           D. 8月和9月
7.双曲线 ： 〔 ， 〕的左，右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线 的右支在第一象限的交点为 ，与 轴的交点为 ，且 为等边三角形，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 双曲线 的渐近线方程为
B. 假设双曲线 的实轴长为2，那么
C. 假设双曲线 的焦距为 ，那么点 的纵坐标为
D. 点 在以 为直径的圆上
8.定义：两个正整数 ， ，假设它们除以正整数 所得的余数相等，那么称 ， 对模 同余，记作 ，比方： ． ，满足 ，那么 可以是〔    〕
A. 23                                         B. 21                                         C. 19                                         D. 17
二、多项选择题
9.函数 〔 且 〕的图象如以下列图所示，那么以下四个函数图象与函数解析式对应正确的选项是〔    〕

A.        B.        C.        D. 
10. ， 是两个平面， ， 是两个条件，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 如果 ， ，那么                      B. 如果 ， ， ，那么
C. 如果 ， ，那么                        D. 如果 ， 且 ，那么
11.函数 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 的周期为                                                B. 的图象关于 对称
C. 的最大值为                                         D. 在区间在 上单调递减
12.如下列图的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．那么以下说法正确的选项是〔    〕

A. 第6行第1个数为192                                          B. 第10行的数从左到右构成公差为 的等差数列
C. 第10行前10个数的和为                          D. 数表中第2021行第2021个数为
三、填空题
13.在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩 服从正态分布 ，假设 ，且 ，那么 ________．
14.设函数 那么不等式 的解集为________．
15.椭圆 ： 〔 〕的左，右焦点分别为 ， ，点 ， 在椭圆上，且满足 ， ，那么椭圆 的离心率为________．
16.阿基米德在他的著作?论圆和圆柱?中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球〔与圆柱的两底面及侧面都相切的球〕的体积与圆柱的体积之比等于它们的外表积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球〔与圆锥的底面及侧面都相切的球〕的体积与圆锥体积之比等于它们的外表积之比，那么该比值的最大值为________．
四、解答题
17.正项等比数列 ，其中 ， ， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令 ．

第一列
第二列
第三列
第一行
5
3
2
第二行
4
10
9
第三行
18
8
11
〔1〕求数列 和 的通项公式；
〔2〕设数列 的前 项和为 ，证明： ．
18.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 上的点， 平分 ， 的面积是 面积的2倍．
〔1〕求 ；
〔2〕假设 ， ，求 的面积．
19.如图， 是以 为底边的等腰三角形，将 绕 转动到 位置，使得平面 平面 ，连接 ， ， 分别是 ， 的中点．

〔1〕证明： ；
〔2〕在① ，②点 到平面 的距离为3，③直线 与平面 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为条件，求二面角 的余弦值．
20.第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛工程是本届奥运会的正式比赛工程之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如下列图，其中左端〔投掷线 的左侧〕有一个发球区，运发动在发球区边沿的投掷线 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心 的远近决定胜负．
某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规那么为：
①每人至多投3次，先在点 处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点 处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．

〔1〕求甲通过测试的概率；
〔2〕设 为本次测试中乙的得分，求 的分布列；
〔3〕请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？
21.设抛物线 ： 〔 〕的焦点为 ，点 〔 〕在抛物线 上，且满足 ．
〔1〕求抛物线 的标准方程；
〔2〕过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，分别以 ， 为切点的抛物线 的两条切线交于点 ，求三角形 周长的最小值．
22.设函数 ．
〔1〕求曲线 在点 处的切线方程；
〔2〕假设关于 的方程 有两个实根，设为 ， 〔 〕，证明： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】对于A， ，A符合题意；
对于B， ，B不符合题意；
对于C， ，C不符合题意；
对于D， ，D不符合题意；
故答案为：A

【分析】利用条件结合并集和补集的运算法那么，从而求出。
2.【解析】【解答】z1=2+i对应的点的坐标为〔2，1〕，

∵复数z1 ， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴〔2，1〕关于虚轴对称的点的坐标为〔﹣2，1〕，
那么对应的复数，z2=﹣2+i，
那么z1z2=〔2+i〕〔﹣2+i〕=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，
应选：A
【分析】根据复数的几何意义求出z2 ， 即可得到结论．
3.【解析】【解答】设高三抽取的人数为 人，那么 ，即 。
故答案为：C

【分析】利用条件结合分层抽样的方法，从而求出从高三年级的学生中应抽取的人数。
4.【解析】【解答】 ,
又∵ ， 不共线 ，
根据平面向量根本定理可得 ,
∴ 。
故答案为：D.

【分析】利用条件结合两向量共线的判断方法结合三角形法那么，从而利用平面向量根本定理，进而求出的值，从而求出的值。
5.【解析】【解答】解： 等价于 等价于 或 ，
∴ 是 的充分不必要条件。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“〞是 “〞的充分不必要条件。
6.【解析】【解答】 因为，故 ， ， ，
那么 ，
那么 时， 单增； 时， 单减； 时， 单增；
那么当 和t=2时，处在中期，出现价格下跌，即6月和7月。
故答案为：B

【分析】因为，故 ，从而得出 ， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而由函数的单调性得出当 和t=2时，处在中期，出现价格下跌，即6月和7月。
7.【解析】【解答】∵ 为等边三角形，

∴
∵ ，
由对称性可知 ，
又∵
∴在 中，
∴ ，∵ ，∴
对于A选项：双曲线 的渐近线方程为 ，A不符合题意；
对于B选项：∵实轴长为2，∴ 即 ，
∵ ， ，∴ ，
∴
∴ B不符合题意；
对于C选项：∵假设双曲线 的焦距为 ，∴
∵ ， ，∴ ，
∴

设A点的纵坐标为 ，
∴ ，即 ，C不符合题意；
对于D选择：∵
∴
∴点 在以 为直径的圆上，D符合题意.
故答案为：D.

【分析】因为三角形 为等边三角形，所以 ， 再利用双曲线的定义得出 ， ， 由对称性可知 ， ， 又因为 ， 所以在 中， 再利用正弦函数的定义得出的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式得出 ， 从而求出双曲线 的渐近线方程；因为实轴长为2，从而求出a的值，再利用双曲线的离心率公式结合条件和渐近线方程，得出 ， ，从而求出 ， ， 再利用焦距的公式得出 ， 再利用三角形面积公式得出 ；假设双曲线 的焦距为 ，从而求出c的值，再利用离心率公式和渐近线方程结合条件得出， ，从而求出a,b的值，再利用焦距的公式得出 ， 再利用三角形的面积公式得出， 设A点的纵坐标为 ， 再利用三角形面积公式得出；因为 ， 所以， 再利用直径对应的圆周角为直角，所以点 在以 为直径的圆上，从而选出说法正确的选项。
8.【解析】【解答】由二项式定理，可得
,等号右边除了第一项1外，其余各项都是10的倍数，所以n被10除所得余数为1，在选项中，只有21倍10除所得余数为1。
故答案为：B.

【分析】利用定义：两个正整数 ， ，假设它们除以正整数 所得的余数相等，那么称 ， 对模 同余，记作 ， 再利用二项式定理，从而结合求余的方法，进而求出p可以的值。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由图可得 ，即 ，
单调递减过点 ，A符合题意；
为偶函数，在 上单调递减，在 上单调递增，B符合题意；
为偶函数，结合指数函数图象可知，C不符合题意；
，根据““上不动、下翻上〞可知D符合题意；
故答案为：ABD.

【分析】由图结合函数解析式，再利用代入法可得a的值，再利用代入法得出 ， 再利用减函数的定义结合特殊点法，从而得出函数单调递减且过点 ；再利用代入法得出， 再利用偶函数的定义判断出函数为偶函数，再利用单调函数的定义，判断出函数为偶函数，且在 上单调递减，在 上单调递增；再利用代入法结合绝对值的定义得出， 再利用偶函数的定义判断出函数为偶函数，再结合指数函数的图象得出分段函数的图象；再利用代入法得出， 根据““上不动、下翻上〞得出其函数图象，从而选出以下四个函数图象与函数解析式对应正确的选项。
10.【解析】【解答】对于A，假设 ， ，那么 ,A符合题意;
对于B，假设 ， ， ，那么 或 相交，B不符合题意;
对于C，假设 ， ，那么 ，C符合题意；
对于D，假设 ， 且 ，那么 平行、相交或异面，D不符合题意.
故答案为：AC.

【分析】利用条件结合线线垂直的判断方法、线线平行的判断方法、线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，从而选出结论正确的选项。
11.【解析】【解答】由于 ，A符合题意；
由于 ，
即 的图象不关于 对称，B不符合题意；


当 时， ，函数 单调递增；
当 或 时， ，函数 单调递减；
所以 ，C符合题意；
由C项分析可知， 在 上单调递减，D符合题意；
故答案为：ACD.

【分析】利用诱导公式结合周期函数的定义，从而推出函数 的周期；利用函数解析式结合代入法和诱导公式，从而推出 ，即 的图象不关于 对称；再利用求导的方法判断出函数在给定区间的单调性，再利用函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而选出结论正确的选项。
 
12.【解析】【解答】数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足数列 ，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，公差满足数列 。
对于A：由题可知，每行第一个数满足以下关系： ，所以第6行第1个数为 ，A符合题意；
对于B：每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，故第10行的数从左到右构成公差为 的等差数列，B符合题意；
对于C：第10行的第一个数为 ，公差为 ，所以前10个数的和为： ，C不符合题意；
对于D：数表中第2021行中第一个数为 ，第2021行的公差为 ，故数表中第2021行第2021个数为 ，D符合题意.
故答案为：ABD.

【分析】数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足数列 ，再利用等比数列的定义推出每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，再结合等比数列的通项公式，从而得出公差满足数列 ，再利用代入法求出第6行第1个数； 再结合条件和等比数列的定义以及等差数列的定义，从而得出每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，故第10行的数从左到右构成公差为 的等差数列；再利用结合代入法求出第10行的第一个数，从而求出公差，再利用求和的方法，从而求出前10个数的和；再利用结合代入法求出数表中第2021行中第一个数，进而求出第2021行的公差，从而结合等差数列的通项公式求出数表中第2021行第2021个数，进而选出说法正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意易得 ，所以 。
故答案为：0.2。

【分析】利用随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数图象的对称性结合条件，从而求出的值。
14.【解析】【解答】由函数解析式知 在R上单调递增，且 ，
那么 ，
由单调性知 ，解得 。
故答案为：〔-3,3〕。

【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像判断分段函数的单调性，且 ，那么， 由单调性知 ，再解绝对值不等式求出不等式 的解集 。
15.【解析】【解答】设 ，因为 ，所以 ，

又因为 ，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】设 ，因为 ，再利用共线定理，所以 ，又因为 ，再利用勾股定理，所以 ，再利用勾股定理得出 ，再结合椭圆的定义得出 ，所以 ，又因为 ，所以 ，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率。
16.【解析】【解答】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，圆锥内切球半径为 ，
作出圆锥的轴截面如以下列图所示：

设 ， ， ，
， ， ，又 ，
， ，
，
那么圆锥外表积 ，圆锥内切球外表积 ，
所求比值为 ，
令 ，那么 ，
当 时， 取得最大值 。
故答案为： 。

【分析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，圆锥内切球半径为 ，设 ， 再利用正切函数的定义得出，因为， ， 所以，又因为 ，所以，进而结合正切函数的定义推出，从而得出，再利用圆锥的外表积公式和球的外表积公式，得出圆锥外表积为 和圆锥内切球外表积 ，进而得出所求比值为 ，令 ，那么 ，再利用二次函数图象求最值的方法，从而求出 的最大值。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 由题意得： ， ， ，从而结合等比数列的定义求出等比数列 的公比 ，再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用数列   的通项公式结合对数的运算法那么，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前 项和，再利用n的取值范围结合放缩法，从而证出不等式 成立。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合三角形面积公式，得出 ，
，因为 ， ，所以 ，再由正弦定理得出 的值。
〔2〕 由〔1〕得出的 结合正弦定理，得 ，再由余弦定理结合， ，从而求出a的值，进而求出c的值，再利用 和三角形中角B的取值范围，从而结合同角三角函数根本关系式，进而求出角B的正弦值，再利用三角形面积公式求出三角形 的面积。
19.【解析】【分析】 〔1〕过点 作 ，垂足为 ，连接 ，由题意结合两三角形全等的判断方法，得出 ，进而得出 ，再利用全等三角形的性质，所以 ，即 ，因为   ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
〔2〕 过 作 ，垂足为 ，连接 ，那么 ，由平面 平面 结合面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 在① ，②点 到平面 的距离为3，③直线 与平面 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为条件， 从而求出AB的长，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求夹角公式，从而求出二面角 的余弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕假设甲通过测试，那么甲的得分 为4或 ，再利用独立事件乘法求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，从而求出甲通过测试的概率。
(2)利用条件求出随机变量Y可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，从而求出随机变量Y的分布列。
〔3〕利用条件结合互斥事件加法求概率公式求出乙通过测试的概率，再与〔1〕得出的甲通过测试的概率作比较，从而得出甲通过测试的概率大于乙通过测试的概率 ，所以甲水平高。
21.【解析】【分析】〔1〕 由抛物线定义结合条件求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
〔2〕 设 ， ，由题意设出直线 的斜截式方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出 ， ， ，设 ， 处的切线斜率分别为 ， ，再利用求导的方法求出曲线在切点处的斜率，那么 ， ，从而求出在切点 的切线方程为 ，即 ①，同理，在 的切线方程为 ②，由①②结合中点坐标公式得： ，代入①或②中可得： ，从而求出点Q的坐标，即 在定直线 上，设点 关于直线 的对称点为 ，再利用点与点关于直线对称的求解方法，再结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出 ，由〔1〕知 ，再利用三角形中两边之和大于第三边的性质，得出，即 三点共线时等号成立，从而求出三角形 周长的最小值。 
22.【解析】【分析】〔1〕 利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。
〔2〕 利用求导的方法判断函数的单调性，从而画出函数的图像，由于 ，由图易知， ， ，由〔1〕可知，在 点的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，且 ， 即 ，下证 ，由于函数 在 单调递减，故只需证明 即可，设 〔 〕，再利用求导的方法判断函数的单调性，因此 ，即 ，又因为函数 在 处的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，即 ，下证 ，由于 在 单调递增，故只需证明 即可，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，那么 ， 即 ，综上证出 成立。