山东省聊城市2022届高三下学期数学二模试卷及答案

 高三下学期数学二模试卷

一、单选题

1．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，，则集合中元素个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．已知，，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

4．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

5．已知，，则（　　）

A． B． C． D．

6．已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

7．实数，，，满足：，，则的最小值为（　　）

A．0 B． C． D．8

8．已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则（　　）

A．“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件

B．“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立

C．第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是

D．在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是

10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．某水车轮的半径为5米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（　　）

A．（）

B．（）

C．是函数的周期

D．在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于6.5米的时间为10秒．

11．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（　　）

A．的准线方程为

B．若，则

C．若，则的斜率为

D．过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则

12．用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（　　）

A．底面椭圆的离心率为

B．侧面积为

C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为

D．底面积为

三、填空题

13．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为　     　．

14．如图，在菱形中，，，为的中点，则的值是　     　．

15．设，，若存在，，，使得成立，则正整数的最大值为　     　．

16．已知数列，当时，，则数列的前项的和为　             　．

四、解答题

17．已知数列的前项和为，，且（）．

（1）求数列的通项公式：

（2）若数列满足，求数列的前项和．

18．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，AC＝2，∠ADC＝∠CAB＝90°，设∠ACD＝.

（1）若＝60°，求BD的长度；

（2）若∠ADB＝30°，求tan的值

19．春节期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均分成n（，）个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同，顾客抽奖时连续转动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色（若指针指在分界线处，本次转运动无效，需重转一次），若三次颜色都一样，则获得一等奖；若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖.

（1）若一、二等奖的获奖概率之和不大于，求n的最小值；

（2）规定一等奖返还现金108元，二等奖返还现金60元，三等奖返还现金18元，在n取（1）中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望.

20．如图，在四棱锥中，平面，，是等边三角形，．

（1）若，求证：平面；

（2）若二面角为30°，，求直线与平面所成的角的正弦值．

21．如图，点是圆：上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）点为轨迹与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．

22．设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）为的导函数，记，证明：当时，函数有两个极值点.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】A,C,D

10．【答案】A,D

11．【答案】B,C,D

12．【答案】A,B,D

13．【答案】15

14．【答案】5

15．【答案】5

16．【答案】

17．【答案】（1）解：当时，，，

∴，

当时，，，

∴，又，

∴，

∴数列为首项为1，公比为3的等比数列，

∴；

（2）解：由及，可得

，，

∴

18．【答案】（1）解：由题意可知，AD＝1．

在△ABD中，∠DAB＝150°，AB＝2，AD＝1，由余弦定理可知，

BD2＝(2)2＋12－2×2×1×(－)＝19，

BD＝

（2）解：由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ，

在△ABD中，由正弦定理可知，

19．【答案】（1）解：设“获三等奖”为事件A，由题意得，

又，

所以，整理得，

解得（舍去），或，

所以n的最小值为6

（2）解：设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量，则的所有可能取值为108，60，18，

根据题意得

，

，

，

所以的分布列为

所以

20．【答案】（1）证明：在中，因为，所以

因为是等边三角形，所以，因此，所以

因为平面，平面，所以

因为，所以平面

（2）解：因为平面，平面，所以

又，且，所以平面

又平面，所以，因此即为二面角的平面角

所以，所以

以的中点为原点，分别以所在直线为轴和轴

建立如下图所示的坐标系

则

于是

设平面的法向量为

由，得

取，得

设直线与平面所成角为

则

故直线与平面所成角的正弦值为

21．【答案】（1）解：由题得，

所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆.

所以，

所以椭圆的方程为.

所以点的轨迹的方程为

（2）解：由题得点，设直线的方程为，

联立直线和椭圆的方程为得，

所以.

设，所以.

所以直线方程为，

令得，同理，

因为，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，所以直线的方程为，

所以直线过定点.

22．【答案】（1）解：的定义域是R，.

①当时，，令，得；令，得.

②当时，令，得或；

当时，令，得或；令，得；

当时，恒成立，且仅在处；

当时，令，得或；

令，得.

综上，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；

当时，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减；

当时，函数在R 上单调递增；

当时，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减.

（2）解：证明：由题意得，则.

要使函数有两个极值点，则方程有两个不同的根，且这两根的左、右两侧的函数值异号.

令，则，

令，得，令，得，

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

则函数在处取得极大值，也是最大值.

当时，且，

，

即函数在区间上至少存在一个零点m.

又函数在区间上单调递增，

函数在区间上存在唯一的零点m，

且当时，；当时，，

是函数的极小值点.

下面证明函数在区间上存在唯一的极大值点.

先证：当时，.

令，，

，，

令，

当时，，

函数在区间上单调递增，

，

在区间上单调递增，，

即.

当时，取，

，

由零点存在性定理，得函数在区间上至少存在一个零点.

又函数在区间上单调递减，

在区间上存在唯一的零点n，

且在区间上，，在区间上，，

是函数的极大值点.

综上，函数有两个极值点.