2021届山东省淄博市高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届山东省淄博市高三数学二模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕．
A.                              B.                              C.                              D. 



2.假设复数 〔 为虚数单位〕，那么 〔    〕．
A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 1



3. 为等比数列， 为其前 项和，假设 ，那么公比 〔    〕．
A.                                        B.                                        C. 1                                       D. 2



4.假设圆台的上、下底面面积分别为4，16，那么圆台中截面的面积为〔    〕．
A. 10                                         B. 8                                         C. 9                                         D. 



5.函数 的局部图像大致为〔    〕．
A.                               B. 
C.                               D. 



6.假设 ，那么 〔    〕．
A.                             B.                             C.                             D. 



7. ， 为正实数，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕．
A. 充要条件             B. 必要不充分条件

             C. 充分不必要条件             D. 既不充分也不必要条件



8.碳70 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环〔正五边形面〕和六元环〔正六边形面〕组成的封闭的凸多面体，共37个面，那么其六元环的个数为〔    〕．

A. 12                                         B. 25                                         C. 30                                         D. 36



二、多项选择题
9. ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ， ，给出以下四个论断：① ；② ；③ ；④ ．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是〔    〕．
A. ①②③⇒④                       B. ①③④⇒②                       C. ①②④⇒③                       D. ②③④⇒①
10.设椭圆 的的焦点为 ， ， 是 上的动点，那么以下结论正确的选项是〔    〕．
A. 离心率                                                    B. 的最大值为3


C. 面积的最大值为                          D. 的最小值为2



11. 是自然对数的底数，那么以下不等关系中不正确的选项是〔    〕．
A.                              B.                              C.                              D. 
12.记 表示与实数 最接近的整数，数列 通项公式为 ，其前 项和为 ，设 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕．
A.                      B.                      C.                      D. 



三、填空题
13.向量 ， 满足 ， ， ，那么向量 和 的夹角为________．
14.某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，那么更正后的方差为________．
15. 展开式中 的系数为11，当 的系数取最小值时， 的系数是________．
16. ， 分别是双曲线 的左右焦点， 是双曲线 的半焦距，点 是圆 上一点，线段 交双曲线 的右支于点 ，且有 ， ，那么双曲线 的离心率是________．
四、解答题
17.在① ，② ， ， 成等比数列，③ ．这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答此题．
问题：等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且满足______．
〔1〕求 ；
〔2〕假设 ，且 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分．
18. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，设 ， 且 ．
〔1〕求角 的大小；
〔2〕延长 至 ，使 ，假设 的面积 ，求 的长．
19.如下列图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，侧棱 ， ，过点 的平面与侧棱 ， ， 相交于点 ， ， ，且满足 ， ．

〔1〕求证：直线 平面 ；
〔2〕求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
20.某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题总分值为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩 服从正态分布 ．
〔1〕估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？
〔2〕该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢 流量〞活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖时机，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数 ，假设产生的两位数的数字相同，那么可获赠 流量5G ， 否那么获赠 流量1G ． 假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的 流量总共有多少G？
参考数据：假设 ，那么
21.函数 ．
〔1〕讨论函数 的单调性；
〔2〕假设函数 恰好有一个零点，求 的取值范围．
22.抛物线 的标准方程是 ，过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且满足 ．
〔1〕求抛物线 的标准方程及准线方程；
〔2〕设垂直于 的直线 和抛物线 有两个不同的公共点 ， ，当 ， 均在以 为直径的圆上时，求直线 的斜率．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，∴
∵ ，∴ .
故答案为：C

【分析】先求出集合B，再求出集合B的补集，再根据并集的定义进行运算即可得出答案。
2.【解析】【解答】 .
或者
故答案为：A

【分析】 法一：根据复数的根本运算法那么进行化简即可．
法二：利用复数的性质即可求解．
3.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 2.
故答案为：D

【分析】利用等比数列通项公式即可得出答案。
4.【解析】【解答】如图，将圆台补成圆锥

设圆台上底面中心 到圆锥顶点的距离为 ，圆台的高为 ，中截面面积为
那么 ，整理得 ，
又 ，所以 ，解得 .
故答案为：C

【分析】将圆台补成圆锥，圆锥底面面积比等于对应椎体高的平方比。
5.【解析】【解答】因为 , ，定义域关于原点对称，
且 ，
所以函数为奇函数，故排除C选项，
当 时， ，故排除B选项；
当 时， ，故排除A，
故答案为：D

【分析】 通过函数的奇偶性，排除局部选项，然后代入特殊函数值，判断即可得出答案．
6.【解析】【解答】由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，且 ，可得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，解得 .
故答案为：C.

【分析】 先根据 ，整理求得，， ， 判断出α的范围，进而根据 转化成 ， 可推断进出而根据余弦函数的单调性求得α的范围，最后综合答案可得．
7.【解析】【解答】由题意，正实数 ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
假设 ，可得 ，即必要性成立；
反之，例如 ，此时 ，而 ，此时 ，即充分性不成立，
所以“ 〞是“ 〞的必要不充分条件.
故答案为：B.

【分析】根据根本不等式以及充分条件、必要条件的定义进行判断，即可得出答案。
8.【解析】【解答】根据题意，顶点数就是碳原子数即为70，每个碳原子被3条棱长共用，
故棱长数 ，
由欧拉公式可得面数=2+棱长数-顶点数 ，
设正五边形x个，正六边形y个，
那么 ， ，解得 ， ，
故正六边形个数为25个，即六元环的个数为25个，
故答案为：B.

【分析】根据题意可知顶点数为70，可求的棱长数为105，结合欧拉公式得到面数为37，列出方程组即可求解。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对A选项，假设① ，② ，③ ，且 ，所以有④ 成立，那么A符合题意；
对B选项，假设① ，③ ，④ ，那么 可能相交、平行或异面，那么B不符合题意；
对C选项，假设① ，② ，④ ，且 ，所以有③ 成立，那么C符合题意；
对D选项，假设② ，③ ，④ ，那么平面 ， 可能相交、平行．
故答案为：AC

【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解。
10.【解析】【解答】解：因为椭圆 ，所以 ， ，所以 ， ， ，所以 ， ， ，A符合题意；
设 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以当 时 ，即 ，B不符合题意；
因为 ，
又 ，所以当 时，即 在短轴的顶点时 面积的取得最大值， ，C不符合题意；
对于D： ，因为 ，所以 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：AD

【分析】 由椭圆的方程求出a，b，c，即可求出椭圆的离心率，再设出点P的坐标，即可求出， ，可求出  的最大值， 根据，进而可以求出三角形PF1F2的面积的最值，
最后再由，进而得出，可以判定D是否正确．
11.【解析】【解答】令 ，那么 ，当 时 ，当 时
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故
那么 得 ，A不符合题意；
得 ，B符合题意；
得 ，C不符合题意；
对D项，令 ，那么 ，当 时 ，当 时
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
那么 ，得 ，化为 ，D不符合题意
故答案为：ACD

【分析】 构造函数， 利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．
12.【解析】【解答】由题意，记 表示与实数 最接近的整数，且 ，
当 时，可得 ，所以A不正确；
由 ，即 ，可得 ，
可得 成立，所以B符合题意；
由 ，可得 ，平方可得 ，
因为 ，且 不是整数，
其中 是 右侧的最接近的整数，
所以 成立，所以C符合题意；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
 
归纳可得数列 中，有2个1，4个 ，6个 ，8个 ，
又由 构成首项为2，公差为2的等差数列，可得 ，
令 ，解得 ，
所以 ，所以D不正确.
故答案为：BC.

【分析】当 时，可得 ，所以A不正确；由 ，即 ，可得 ，可得 成立，所以B符合题意；由 ，可得 ，其中 是 右侧的最接近的整数，所以 成立，所以C符合题意；归纳可得数列 中，有2个1，4个 ，6个 ，8个 ， 利用等差数列的求和公式求得n，进而求出， 所以D不正确.
三、填空题
13.【解析】【解答】由 得
由
所以向量 和 的夹角为
故答案为：

【分析】 由题意先求出， 再根据向量的夹角公式计算即可。
14.【解析】【解答】因为甲实得80分，记为60分，少记20分，乙实得70分，记为90分，多记20分，
所以总分没有变化，因此更正前后的平均分没有变化，都是80分，
设甲乙以外的其他同学的成绩分别为 ，
因为更正前的方差为70，
所以 ，
所以 ，
更正后的方差为：
，
所以更正后的方差为60，
故答案为：60.

【分析】先判断更正前后平均分没有变化都是80分，再根据方差的概念先表示出更正前的方差和更正后的方差，比较其异同，然后整体代入即可求解。
15.【解析】【解答】 展开式中 的系数为11，
即 ，即 ，所以 ，
的系数为
，
当 时， 系数的最小值为19，那么 ，
即 中 的系数为 ，
故答案为：5.

【分析】 由得，即 ， 的系数为 ，由于n∈N*，可得 时， 系数的最小值为19，此时，即可得出 的系数．
16.【解析】【解答】如以下列图所示：

因为 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，又 ，所以
，
即 ，化简得 ，所以 ，
故答案为： ．

【分析】画出图形，为 ， ，所以 ， ，又 ，所以 ， 由，可得， 即可得出双曲线  的离心率。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕由条件，根据等差数列的求和公式可得 ；
〔2〕 利用递推关系式，由  即可求出数列的通项公式，再结合 ， 得到 ， 利用裂项法可得数列  的前  项和   .
18.【解析】【分析】〔1〕利用两角和的余弦公式可得 ， 由  可得  ， 再根据正弦定理可得 ， 进而求出角B的大小；
〔2〕 由 可得  为等边三角形 ，由 ， 可得   ，再利用余弦定理可求得AD的长 。
 
 
19.【解析】【分析】 〔1〕 联结  ，  ， ，推导出   ，   ，由此能证明  平面 ；
〔2〕 取  为  的中点，联结  ，  ，  ，由面面平行的判定定理可得平面  平面  ，再由直线  平面  得出  ，  ，    为平面  与平面  所成二面角的平面角， 由此能求出 平面  与  所成二面角的正弦值 ．
20.【解析】【分析】〔1〕根据题意，得到 ， 由此考试成绩优秀者得分 ， 即 ，结合状态分布的对称性和参考数据，即可求解；
〔2〕 设每位抽奖者获赠的 流量为  G，那么  的值为1，2，5，6，10，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求的数学期望即可得到答案。
 
21.【解析】【分析】〔1〕 求出导数再讨论a即可判断单调性；
〔2〕 先求导函数零点，分析函数单调性变化规律，结合函数图象确定函数f〔x〕恰有一个零点的条件，解不等式即得a的取值范围．
22.【解析】【分析】〔1〕 由题意可知，直线  的斜率存在，设其斜率为  ，那么直线  的方程为  ， 与抛物线联立，可得  ，  ， 由点  ，  在抛物线  上，得出   ，进而求出  ，即可得出抛物线  的标准方程及准线方程；
〔2〕 假设  ，那么直线  与抛物线仅有一个交点，不合题意，   ， 设  ，  ， 由 在以  为直径的圆上，得  ，  ，即  ，  ，可得  ， 由〔1〕知：  ，  ， 得  求解可得k的值，可得直线  的斜率。