2021-2022学年河北省沧州市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年河北省沧州市高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知与的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某学校召集高二年级个班级的部分家长座谈，高二班有名家长到会，其余个班级各有名家长到会，会上任选名家长发言，则发言的名家长来自个不同班级的可能情况的种数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知随机变量的分布列如表所示，其中，，成等差数列，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某射击选手射击目标两次，第一次击中目标的概率是，两次均击中目标的概率是则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同．法国数学家棣莫弗在年证明了时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯在年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理．现抛掷一枚质地均匀的硬币次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于次的概率为(    )
   附：若，则，，

A.  B.  C.  D.

8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 若，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 随着疫情的有效控制，沧州动物园于年月日起恢复开园．开园当天，沧州师范学院学生会的名男生和名女生在动物园的入口处对游客进行新冠肺炎防疫知识宣传．闭园后，这名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是(    )

A. 若让其中的男生甲排在两端，则这名同学共有种不同的排法
B. 若要求其中的名女生相邻，则这名同学共有种不同的排法
C. 若要求其中的名女生不相邻，则这名同学共有种不同的排法
D. 若要求其中的名男生排在中间，则这名同学共有种不同的排法

11. 年月，上海市要求复工复产的相关人员须持小时核酸检测阴性证明方能进人工厂．现有两种检测方式：逐份检测；混合检测：即将其中份核酸样本混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，则需要对这份核酸再逐份检测．假设检测的核酸样本中，每份样本的检测结果相互独立，且每份样本是阳性的概率都为，若，则能使得混合检测比逐份检测更方便的的值可能是参考数据：，(    )

A.  B.  C.  D.

12. 学校食坣每天中都会提供，两种套餐供学生选择学生只能选择其中的一种，经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此住复．记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为一个月天后，记甲、乙、丙位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是(    )

A.  B. 数列是等比数列
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在的展开式中，所有二项式系数的和是，则展开式中的常数项为______．
14. 已知，都是非零实数，若，则的最小值为______．
15. 如图所示的电路，有，，，四个开关，若开关，，，自动闭合的概率分别为，，，，则灯泡甲亮的概率为______．

16. 已知函数则函数的零点是______；若函数，且函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    下表是某农村居民年至年家庭人均收入单位：万元．

利用相关系数判断与的相关关系的强弱当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱，精确到；
求关于的线性回归方程，并预测年该农村居民的家庭人均收入．
参考公式：相关系数，回归直线中，，，参考数据：．

18. 本小题分
    已知函数，．
    解关于的不等式；
    若，，关于的不等式的解集为，求的值．
19. 本小题分
    年北京与张家口联合承办了第届冬季奥运会．某校为了调查学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，对高二年级的名学生进行了问卷调查，得到部分数据如下表：

求表中，，的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢冰雪运动与性别有关？
学校从喜欢冰雪运动的学生中用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中选取人进行访谈，记这人中男生的人数为，求的分布列与数学期望．
附：参考公式及数据：，其中．

20. 本小题分
    已知函数是定义在上的偶函数，其中，是自然对数的底数．
    求的值；
    若关于的不等式对都成立，求实数的取值范围．
21. 本小题分
    李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为克，标准差为克的正态分布．李师傅从年月日至月日连续天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在单位：克上的有份，重量在单位：克上的有份．
    李师傅的儿子刚参加完年高考，准备于月日在家中招待几名同学，李师傅为此在平台上网购了份水果，记这份水果中，重量不少于克的有份，试以这天的频率作为概率，求的分布列与数学期望；
    已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量记李师傅这天购买的每份水果平均重量为克，试利用该结论来解决下面的问题：
    求；
    如果李师傅这天得到的水果的重量都落在单位：克上，且每份水果重量的平均值李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果缺斤少两，试从概率角度说明李师傅的举报是有道理的．
    附：随机变量服从正态分布，则，，；
    通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
22. 本小题分
    已知函数
    求，的值；
    若对任意，都有，求实数的最大值；
    若函数在区间上有个不同的零点，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为集合，
，
所以．
故选：．
求出集合，，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由表中数据可得，，
则样本中心为，
关于的线性回归方程为，
，解得．
故选：．
根据表中数据，先求出样本中心，再结合线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：若高二班有家长发言，共有种，若高二班没有家长发言，共有种，
所以发言的名家长来自个不同班级的可能情况的种数共有种．
故选：．
分高二班有家长发言和没有家长发言两种情况求解，再利用加法原理可求得结果．
本题考查了排列组合，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由分布列的性质得，，又因为，，成等差数列，所以，
所以，
又，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是，
故选：．
根据分布列的性质，结合题目条件可得，所以，再利用基本不等式即可求出结果．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
．
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质及特殊值，比较大小即可．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：设该选手第一次击中日标为事件，第二次击中日标为事件，
由题意可知：，
则．
故选：．
设该选手第一次击中日标为事件，第二次击中日标为事件，由题意可知，，再利用条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币次，设硬币正面向上次数为，则，
由题意，，且，，
因为，即，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于次的概率为．
故选：．
根据服从二项分布求得期望与方差，由题意可知服从正态分布，再根据正态分布曲线的对称性求解即可．
本题主要考查正态分布曲线的特点及正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由是奇函数，得，
由是偶函数，得，
令，由得，由得：，
又，所以，即，
令，由得：，
又，所以，即，则，
代入，得，
所以时，．
所以．
故选：．
由已知可得出，，分别令、，结合已知条件可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出函数在上的解析式，再利用函数的对称性可求得结果．
本题考查函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，故选项A，C正确；
当，时，，故选项B错误；
又由，得，
，则，即，故选项D正确．
故选：．
根据不等式的性质，逐项分析判断即可．
本题考查不等式的性质及大小比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：名男生和名女生在动物园的入口处对游客进行新冠肺炎防疫知识宣传．闭园后，这名同学排成一排合影留念，
对于，若男生甲排在两端，则这名同学共有种不同的排法，A错误；
对于，若名女生相邻，则这名同学共有种不同的排法，B正确；
对于，若名女生不相邻，则这名同学共有种不同的排法，C正确；
对于，若要求名男生排在中间，则这名同学共有种不同的排法，D正确．
故选：．
利用分步乘法计数原理、排列的知识逐项分析、判断即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设混合检测样本需要检测的总次数为，
由题意可得，所有可能取值为，，
，，
，
设逐份检测样本需要检测的总次数为，则，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需，
即，
，
又，
，解得，
．
故选：．
根据已知条件，分别求出两种检测方式的期望，令，再结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查对数函数的公式，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，由于学校食堂每天中都会提供，两种套餐供学生选择学生只能选择其中的一种，
故A，故A正确，
对于，由题意可得，，
则，
又时，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
当时，，
，
故BC正确，D错误．
故选：．
对于，结合每人每次只能选择，两种套餐中的一种，即可求解，
对于，结合等比数列的性质，以及期望公式，即可依次求解．
本题主要考查离散型随机变量的应用，以及等比数列的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据二项式系数和公式可得，解得，
又的展开式的通项公式为，
令，得，所以展开式中的常数项为，
故答案为：．
利用二项式系数和公式求出的值，再求出展开式的通项公式，令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，都是非零实数，若，则
，当且仅当，，时，取等号．
故答案为：．
利用“”的代换，结合基本不等式求解最小值即可．
本题考查基本不等式的应用，最小值的求法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：用，，，分别表示开关，，，闭合的概率，
则灯泡甲亮的概率为．
故答案为：．
根据电路图可知：灯泡甲要亮，必须开关要闭合，至少有一个开关闭合即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

16.【答案】，   

【解析】解：当时，解得，当时，解得，所以函数的零点是，；
对于函数，设，令，则，
在同一坐标系内作出直线以及的图象如图所示，
若，则与的图象有两个交点，设交点的横坐标为，不妨设，
则，，当时，有且只有一个解，当时，有两个不同解；
若，则与的图象只有一个交点，设交点的横坐标为，则，当时，有且只有一个解，不合题意，
综上，函数有三个不同的零点时，的取值范围是．
故答案为：，；．
分情况解出的根即可；先令，可得，求出根，或范围，再令，或，再同一坐标系中讨论和，的图象间的关系即可．
本题考查利用函数的图象研究函数零点或方程的根的存在性问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：由表中数据可得，，，
，，，
则，
故与的相关关系较强．
由可知，，
所以，，
关于的线性回归方程为．
当时，，
故预测年该农村居民的家庭人均收入约为万元． 

【解析】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法，求出线性回归方程，再将代入上式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查相关系数的公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：函数，，关于的不等式，
由题意知，
化简得，
解得．
所以所求不等式的解集为．
解法一：不等式可化为．
关于的方程的判别式：
，
方程的根．
，
又，
，
解得或，
，．
解法二：不等式可化为．
关于的方程的判别式：
，
设方程的根为，，则．
不妨设，则，
又，
，
解得或，
又，． 

【解析】，由此能求出所求不等式的解集．
法一：不等式可化为，利用根的判别式、韦达定理能求出．
法二：不等式可化为，利用根的判别式、韦达定理能求出．
本题考查一元二次不等式、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：由题意可得：，解得，
首先给出零假设：假设为为喜欢冰雪运动与性别无关，联列表如下：

，
因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为喜欢冰雪运动与性别无关．
抽取的人中，女生有人，
男生有人，
的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：

． 

【解析】由可得，得，由得，根据联列表得，与参考值比较可得答案；
求出的可能取值及对应概率可得答案．
本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，随机变量均值的计算等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：因为是上的偶函数，
所以，
即对任意实数都成立，
所以有，
所以对任意实数都成立，
所以，解得．
由知，，
因为关于的不等式，即对恒成立，
因为，所以，
将不等式两边同时除以，
则将原问题转化为对恒成立，
设，则对恒成立．
因为，
而，当且仅当，即时等号成立，
所以时，取最小值，
所以．
因此实数的取值范围是． 

【解析】由是定义在上的偶函数求解即可；
由已知可得，将问题转化为对恒成立，求出的最小值即可．
本题考查了函数的奇偶性、转化思想及恒成立问题，难点在于求的最小值，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意可得，的所有取值为，，，，，
，
，
，
故的分布列为：

．
，
，
，
又，
，
．
由知，
这天收到的每份水果重量的平均值，而，
所以概率为的事件是小概率事件，小概率事件基本不会发生的，
因此李师傅的举报是有道理的． 

【解析】由题意可得，的所有取值为，，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
由知，这天收到的每份水果重量的平均值，再结合小概率事件基本不会发生，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

22.【答案】解：由函数
则；．
因为当时，，
当时，，
又时，，
所以
司理可得，当时，，当时，，
函数的图象如图所示．

令，解得舍，
由图可见仅当时，恒成立，
所以实数的最大值是．
因为有个不同的零点，即的图象与直线有个不同的交点，所以．
设这个交点的横坐标从小到大依次为，，，，，，
则，，，
所以，
又，
所以，
即所求的取值范围是． 

【解析】根据分段函数及复合函数的定义求值即可；
根据分段函数及复合函数的定义，逐步求出的解析式，画出并分析图像，直到，即可求得结果；
所求零点等价于的图象与直线的交点，分析的图像，可得出的范围，结合以及零点的对称性即可求和，即可求得取值范围
本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于难题．