2021-2022学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 在复平面内，复数为虚数单位对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为：：：，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题中正确的是(    )

A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

5. 饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列．某项饱和潜水作业一次需要名饱和潜水员完成，利用计算机产生之间整数随机数，我们用，，，表示饱和潜水深海作业成功，，，，，，表示饱和潜水深海作业不成功，现以每个随机数为一组，作为名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下组随机数：，，，，，，，，，由此估计“名饱和潜水员中至少有人成功”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在圆台中，，，且，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 在等腰梯形中，，，，点，为边上动点，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是(    )

A. 当时，
B. 当时，事件与事件不独立
C. 当时，
D. 当时，事件与事件不独立

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测．某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. 甲同学体温的极差为
B. 乙同学体温的众数为，中位数与平均数不相等
C. 乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D. 甲同学体温的第百分位数为

10. 已知，则下列命题正确的是(    )

A. 若，则为纯虚数
B. 若，则的虚部为
C. 若且，则
D. 若，则的最大值为

11. 设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为

12. 在棱长为的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内含边界一个动点，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 点存在无数个位置满足平面
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 三棱锥体积的最大值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，若，则______．
14. 若一组数据，，，的方差为，则，，，的标准差为______．
15. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为______

16. 在正三棱锥中，，，点在棱上，且，设正三棱锥的外接球为球，过顶点作球的截面，则所得截面面积的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门组织部分居民对本次活动进行打分．现从所有有效数据中随机抽取一个容量为的样本，统计发现分数均在，将样本数据整理得到如下频率分布直方图．
    求的值；
    根据频率分布直方图，估计该城市居民打分的众数、中位数保留一位小数及平均数同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．

18. 如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且设，．
    若，以，为基底表示向量与；
    若，求的取值范围．

19. 在直三棱柱中，，分别是，的中点．
    求证：平面；
    若，，，求点到平面的距离．

20. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积．
    求；
    求周长的取值范围．
21. 在中国共产主义青年团成立周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得分，答错得分．假设甲队中人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响．
    分别求甲队总得分为分和分的概率；
    求活动结束后，甲、乙两队共得分的概率．
22. 已知四棱锥的底面为矩形，，，平面、是的中点．
    证明：平面；
    若与平面所成的角为，求二面角的正切值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则复数为虚数单位对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，
已知样本中型血的人数比型血的人数多，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，是两个互相垂直的单位向量，
，，
，
，
向量在向量上的投影向量为．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及投影向量的公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于选项，若，，，则或相交，故A选项错误；
对于选项，若，，，则或相交，故B选项错误；
对于选项，若，，，则，故C选项正确；
对于选项，若，，，则或相交，或异面，故D选项错误．
故选：．
根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案．
本题考查空间线面的位置关系，考查学生的分析能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：组随机数中表示名饱和潜水员中至少有人成功为：，，，，，，，共个，
则“名饱和潜水员中至少有人成功”的概率为．
故选：．
先求出组随机数中表示名饱和潜水员中至少有人成功的随机数，再结合频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，因为，，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形：
所以，，
所以即为异面直线与所成角或其补角，
因为在圆台中，平面，
所以平面，，
因为，，，
所以，
所以，在中，，
所以，
所以，异面直线与所成角的余弦值为，

故选：．
连接，证明四边形为平行四边形，进而得即为异面直线与所成角或其补角，再根据几何关系求解即可．
本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：在等腰梯形中，，，，
点，为边上动点，且，
以为坐标原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图，

则，，，，
设，则，，
，，
，
当时，取最小值．
故选：．
建立空间直角坐标系，根据平面向量的坐标运算、向量数量积公式能求出的最小值．
本题考查向量坐标运算法则、向量数量积公式、配方法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，所有基本事件有：正，正，正，反，反，正，反，反，共种，
且，，，，，，
所以，故A正确；
，所以事件与事件不独立，故B正确；
当时，所有基本事件有：正，正，正，正，正，反，正，反，正，
正，反，反，反，正，正，反，正，反，反，反，正，
反，反，反，共种，
，，，，
所以，故C正确；
，，，，所以事件与事件独立，故D错误．
故选：．
首先，列出和事件，再求概率，然后根据与的关系，判断两个事件是否独立．
本题主要考查事件的相互独立性，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项，甲同学体温的极差为，故A选项正确；
对于选项，乙同学体温为，，，，，，，其众数为，中位数、平均数均为，故B选项错误；
对于选项，根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的体温极差为，大于乙同学的体温极差，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，选项正确；
对于选项，甲同学的体温从小到大排序为，，，，，，，故甲同学体温的第百分位数为，故D选项正确．
故选：．
根据图中数据，依次分析各选项即可得答案．
本题考查频数分布折线图，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，则为实数，故A错误，
对于，，则的虚部为，故B正确，
对于，且，
则，解得，故C错误，
对于，设，，，
，
，表示以为圆心，为半径的点，
表示圆上的点到之间的距离，
的最大值为，故D正确．
故选：．
对于，结合纯虚数和共轭复数的定义，即可求解，
对于，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解，
对于，结合复数模公式，即可求解，
对于，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则，
即，
则，
因为、、，所以，
所以，
所以，即，故A正确；
在锐角中，，
解得，
即的取值范围为，故B错误；
则，
所以，故C错误；
，故D正确，
故选：．
利用正弦定理边化为角，再根据三角形内角的关系可求得，的关系，从而可判断；再根据锐角可求出的取值范围，即可判断；求出的范围，可判断；边化为角，从而可判断．
本题考查正弦定理的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项A，根据题意作图如下：

在正方体中，易知，，
因为，所以平面，即，故A正确；
对于选项B，根据题意作图如下：

在正方体中，易知，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，因为，所以平面平面，
易知平面，当时，平面，故B正确；
对于选项C，根据题意作图如下：

在正方体中，易知，，
因为，所以平面，即，同理可得：，
因为，所以平面，连接，易知，
则为直线与平面所成角，
在中，，
因为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故C错误；
对于选项D，根据题意作图如下：

在正方体中，
易知当点与点重合时，三棱锥体积取最大值，
设点到平面的距离为，则，
由选项B可知，则，可得，
则三棱锥体积取最大值：
，故D正确．
故选：．
根据题意，分别作图，利用图象，根据线面垂直、面面平行、线面角定义、三棱锥的体积公式，可得答案．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为一组数据，，，的方差为，
所以，，，的方差为，所以其标准差为．
故答案为：．
根据方差的性质计算可得．
本题主要考查数据的标准差的计算公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
又，由正弦定理得，
则，
在中，由，，
得．
故答案为：．
利用正弦定理求出的值，然后根据直角三角形中的边角关系求解出的长度．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，三棱锥的外接球的球心，为球半径，为截面圆的半径，为球心到截面圆的距离，
，当与截面垂直时，截面面积最小，即，
在三角形中，为中点，的中心，则，，，
在三角形中，，，，，
截面面积的最小值为，
答案为：．
根据球的截面圆的性质，运用几何法得到以为圆心时，截面圆的面积最小，得解．
本题考查了球的截面圆的性质，运用几何法得到截面圆的最小值，是中档题．
 

17.【答案】解：由频率分布直方图可知，解得；
由频率分布直方图可知众数为，
由，，
所以中位数位于之间，设中位数为，
则，解得；
平均数为． 

【解析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；
根据平均数、众数、中位数的计算规则计算可得．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题干可知：




．
所以；
因为，所以

．
所以．



所以．
又，，．
所以．
所以

．
因为，所以，所以，
所以取值范围为． 

【解析】由向量的线性运算可求得向量与；
先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围．
本题主要考查向量的表示和数量积公式，属于中档题．
 

19.【答案】证明：连接交于，则为的中点，
为的中点，，，
可得四边形为平行四边形，则，
而平面，平面，
平面；
解：三棱柱为直三棱柱，且，
平面，可得到平面的距离为，
又，，，，，
满足，则，则，
设点到平面的距离为，则由，
得，解得．
点到平面的距离为． 

【解析】连接交于，证明四边形为平行四边形，得，进一步可得平面；
由已知利用等体积法，即，求点到平面的距离．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
 

20.【答案】解：，
所以，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以，而
可得，而，
可得；
由和余弦定理可得，
所以，可得，当且仅当时取等号，
且，
所以三角形的周长的范围为 

【解析】由三角形的面积公式和正余弦定理可得的值，再由角的范围，求出角的大小；
由和余弦定理及均值不等式的性质可得的取值范围，进而求出三角形的周长的范围．
本题考查三角形的面积公式的应用及正余弦定理的应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：依题意记甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件，
则．
．
所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为．
依题意甲队总得分为分的概率为．
得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；
乙队总得分为分的概率为，得分的概率为．
得分的概率为，得分的概率为．
则活动结束后，甲、乙两队共得分的概率． 

【解析】利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；
首先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；
本题住哟考查相互独立事件的概率，属于基础题．
 

22.【答案】证明：在四棱锥中，底面是矩形，平面，
．
连接，，
由勾股定理可得．
平面．
解：平面，是与平面所成的角．

与平面所成的角为，，．
过作于，过作于，
平面、平面，
平面平面，平面平面，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，为二面角的平面角，
由已知可得，
∽，，，
，
二面角的正切值为． 

【解析】推导出，，从而平面．
过作于，过作于，为二面角的平面角，求解即可．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属中档题．