2021-2022学年河北省唐山市开滦二中高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河北省唐山市开滦二中高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 下列求导不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前个月甲胶囊生产产量单位：万盒的数据如表所示：

若，线性相关，经验回归方程为，估计该制药厂月份生产甲胶囊产量为(    )

A. 万盒 B. 万盒 C. 万盒 D. 万盒

3. 设随机变量的分布列如下：

其中，，，成等差数列，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为；加工出来的零件混放在一起，且第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 盒中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某学校有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学所大学的机会，若每所大学至少保送人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8. 下列命题中，真命题的是(    )

A. 若回归方程，则变量与正相关
B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
C. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
D. 若随机变量服从正态分布，，则

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 现有名男生和名女生，在下列不同条件下进行排列，则正确的有(    )

A. 排成前后两排，前排人后排人的排法共有种
B. 全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有种
C. 全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有种
D. 全体排成一排，男生互不相邻的排法共有种

10. 下列说法正确的是(    )

A. 若事件与互相独立，且，，则
B. 在回归分析中，对一组给定的样本数据，，，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 设随机变量服从正态分布，则

11. 若，则下列结果正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数，若函数恰有个零点，则的取值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知，，那么 ______ ．
14. 设，且，若能被整除，则______．
15. 已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围为______．
16. 用到这个整数组成无重复数字的四位数，共有______个，其中按从小到大的顺序排列，其中第个数是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 若，求；
    已知，求的展开式中的系数用数字表示结果
18. 已知函数．
    求函数在点处的切线方程；
    求函数在定义域内的极值．
19. 已知在的展开式中，前项的系数成等差数列，求：
    展开式中二项式系数最大项的项；
    展开式中系数最大的项；
    展开式中所有有理项．
20. 新式茶饮是指由上等茶叶，辅以不同的萃取方式提取的浓缩液为原料，并根据消费者偏好添加牛奶、芝士、水果等以及各种小料调制而成的饮料，新式茶饮是茶饮业的一大创新，近几年快速扩张，数据显示年中国新式茶饮市场规模将达到亿元，某数据传媒公司为了解新式茶饮消费者购买偏好及用户年龄，随机调查了名新式茶饮消费者．
    调查数据显示消费者喜好的前两名茶饮类别分别为奶茶类、水果类，从调查者中随机抽取名消费者，经统计这名消费者中喜欢奶茶类的消费者有人，喜欢水果类的消费者有人，既喜欢奶茶类又喜欢水果类的消费者有人，现从这人中任取人，记这人中喜欢奶茶类不喜欢水果类的消费者的人数为，求的分布列与期望；
    若参与调查的名新式茶饮消费者年龄，估计这名新式茶饮消费者年龄小于岁的人数．
    参考数据：
21. 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门召集了名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均速度情况为：在名男性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人，在名女性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人．
    完成下面的列联表：

判断是否有的把握认为平均车速超过与性别有关．
附：临界值参考表的参考公式

，其中
以上述样本数据估计总体，在高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取辆，记这辆车均为男性驾驶员且车速超过的车辆数为，求的分布列和数学期望．

22. 设函数．
    当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
    当时，若在定义域内存在两实数，满足，且，证明：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确．
故选：．
根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式求导即可．
本题考查了积的导数、商的导数、基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，根据表格中的数据可知：，，
即样本中心为，代入回归直线，
解得，即，
令，解得万盒，
故选：．
由题意，根据表格中的数据求得样本中心为，代入回归直线，解得，得到回归直线的方程，即可作出预测．
本题主要考查了线性回归方程的性质．属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意知：
，
解得，，，
．
故选：．
利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质、等差数列性质，列出方程组，求出，，，由此能求出方差．
本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列、数学期望的性质、等差数列性质的合理运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：设，则，直线的斜率为，
由题意可得，解得．
故选：．
由已知条件列出方程组，求解方程组即可解得的值．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，，，
则 ， ， ， ，两两互斥．
根据题意得： ， ， ．
， ．
由全概率公式，得：


．
故选：．
设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，，，利用全概率的公式求解．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设事件为“甲取出的有红球”，事件为“取出两个红球”，
则，，
由条件概率公式能求出甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为：
．
故选：．
设事件为“甲取出的有红球”，事件为“取出两个红球”，求出，，由条件概率公式能求出甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率．
本题考查概率的运算，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：每所大学至少保送人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，先考虑甲去的学校有种情况，对甲去的学校分类讨论，
若该校只有人保送，则另外人去两所学校共有种情况；
若甲去的学校有人保送，则另外人去所学校共有种情况．
则不同的保送方案共有．
故选：．
先考虑甲去的学校有种情况，对甲去的学校分类讨论得解．
本题考查排列组合及其简单计数问题，属于中档题，分类讨论是关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了统计与概率有关的命题真假判断，属于基础题．
由前系数可判断A错误；相关指数越大，模拟效果越好，故B项错误．结合新样本数据的方差公式可判C正确；通过正态分布计算，判断项错误．
【解答】
解：，，则变量与负相关，项错误；
在线性回归分析中相关指数越大，则模型的拟合效果越好，故B项错误．
若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，项正确；
因为服从正态分布，，
则，故D项错误；
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的应用，属于基础题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．

【解答】

解：对于，将名学生排成前后两排，前排人后排人的排法，相等于人进行全排，则有种排法，A错误；
对于，甲不站排头也不站排尾，有种情况，将剩下的人全排列，有种排法，则有种排法，B正确；
对于，将名女生看成一个整体，有种排法，将这个整体与名男生全排列，有种排法，则有种排法，C正确；
对于，先排名女生，有种排法，排好后有个空位，在个人空位中任选个，安排名男生，有种排法，则有种排法，D正确；
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：若事件与互相独立，且，，
可得，则，故A正确；
在回归分析中，对一组给定的样本数据，，，而言，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；
反之，则模型的拟合效果越好，故B正确：
若随机变量服从二项分布，则，
，故C正确；
随机变量服从正态分布．
可得，，则，故D错误；
故选：．
根据条件概率和事件的独立性即可判断选项A，残差定义可判断选项B，二项分布的数学期望的公式可判断选项C，正态分布可判断选项D．
本题考查离散型随机变量的分布列于期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，令得，，故A正确，
对于，令得，，
上式减下式得，，
，故B错误，
对于，对两边求导得，，
令得，，故C正确，
对于，令得，，故D正确，
故选：．
令可判断，令，再相减可判断，两边求导数，再令，可判断，令可判断．
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了赋值法，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：恰有个零点，也即与的图象有三个交点，
当时，，由得，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，且时，，时，；
当时，，得，或舍，
由得，得，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，时，，
作出函数与的图象如右：易知当，或时，与的图象有三个交点，即函数有三个零点，结合，可知，选项符合题意．
故选：．
原函数的零点，即为的根，也即与图象交点有三个，利用导数研究它们的单调性、极值情况，画出图象求解．
本题考查函数的零点与函数图象之间的关系，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接利用，可得结论．
本题考查二项分布中的条件概率，直接利用公式求解即可，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，
能被整除，只需能被整除，
，，即．
故答案为：．
将所给的式子进行转化，再利用二项式定理的展开式求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为对任意，存在，使得，
所以在上的最大值小于或等于在上的最大值，
因为函数，，
所以，
所以在上单调递增，
所以的最大值为．
因为函数，，
所以，
令可得：，．
令可得：，单调递增；
令可得：，单调递减．
所以的最大值为．
故，即．
故答案为：
将已知问题转化为在上的最大值小于或等于在上的最大值，分别利用导数求出函数和的最大值即可得出所求答案．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

16.【答案】   

【解析】解：由到这个整数组成无重复数字的四位数，共有个，
千位上是时，有个，
千位上是时，百位上时，有个，
千位上是时，百位上时，十位上时，有个，
千位上是时，百位上时，十位上时，有个，分别是，，
所以按从小到大的顺序排列，其中第个数是，
故答案为：；．
直接计算由到这个整数组成无重复数字的四位数即可；按从小到大的顺序依次计算出千位是时数的个数，千位上是，百位上是时数的个数，千位上是时，百位上时，十位上时数的个数，千位上是时，百位上时，十位上时的个数，此时正好有个数了，即可得到答案．
本题考查排列组合问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，
或舍，即．
由题意可得：展开式中的系数为：．
展开式中的系数：． 

【解析】本题考查二项式系数的性质，考查二项式定理以及组合数的应用，属于中档题．
直接利用排列数以及组合数的运算性质求解即可，
直接利用二项式定理求解即可．
 

18.【答案】解：由，得，
所以，即切点为，
所以函数在点处的切线的斜率为，
所以切线方程为，即．
由题意可知，的定义域为．
因为，所以，
令，即，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表：

因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为． 

【解析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；
根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，由导数研究函数的极值等知识，属于中等题．
 

19.【答案】解：由题知，
可得或舍去．
二项式展开式中二项式系数最大的项为：．
记第项系数为，记第项系数最大，则有，且．
又，于是有，
解得．
所以系数最大项为第项和第项．
通项，
令所以只有当，时，对应的项才为有理项．
有理项为，． 

【解析】由条件先求出，利用二项式定理系数的性质写出结果即可．
记第项系数为，记第项系数最大，则有，且，由此可得展开式中系数最大的项．
令的幂指数为整数，求得的值，即可求得展开式中的有理项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得，名消费者中喜欢奶茶类不喜欢水果类的消费者有人，
则所有可能取值为，，，，
故，，
，，
故的分布列为：

故E．
，
，，
，
，
故名新式茶饮消费者年龄小于岁的人数为． 

【解析】由题意可得，名消费者中喜欢奶茶类不喜欢水果类的消费者有人，则所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：完成的列联表如下：

．
有的把握认为平均车速超过与性别有关．
根据样本估计总体的思想，从总体中任取辆车，
平均车速超过且为男性驾驶员的概率为，故
；；
；．
所以的分布列为：

． 

【解析】熟悉列联表的计算公式，再结合表格所给数据进行判断．
由频率估计概率，将问题转化为二项分布，再用通法求数学期望，也可直接用二项分布的数学期望公式求解．
本题主要考查独立性检验和离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
 

22.【答案】解：的定义域是，
，
当时，，即在上递增，不合题意，
当时，令，解得：，
故时，，当时，，
故在递增，在递减，
故，
若存在，使得成立，
则，
即，即，
令，则，
在上单调递增，
又，，
即实数的取值范围是；
证明：当时，，则，
当时，，当时，，
在递增，在递减，
由且知，
令
，，
则，
在递增，，即，
，又，，
，，
又且在递减，
，即． 

【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的不等式，求出的取值范围即可；
代入的值，求出的解析式，求出，根据函数的单调性证明结论成立即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．