2021-2022学年河北省保定市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年河北省保定市高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区名男性居民和名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为的样本，则应从女性居民中抽取的人数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知非零向量，，且与共线，则(    )

A.  B.  C.  D. 或

4. 如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为的等腰直角三角形，则为(    )

A. 面积为的等腰三角形 B. 面积为的等腰三角形
C. 面积为的直角三角形 D. 面积为的直角三角形

5. 一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距海里，如图所示．随后该船以海里小时的速度，沿直线向东南方向航行小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则(    )

A.  
B.  
C.  
D.

6. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某圆锥的母线长为，高为，则该圆锥外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知向量，，满足，，，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 在正方体中，，，分别为，，的中点，则(    )

A. 与异面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 与所成角的正切值为

10. 为了解某地高一学生的期末考试语文成绩，研究人员随机抽取了名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图各组区间均为左闭右开，已知不低于分为及格，则(    )

A.
B. 这名学生期末考试语文成绩的及格率为
C.
D. 这名学生期末考试语文成绩的及格率为

11. 中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图，棋盘由边长为的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于，，，四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数在上单调，且，则(    )

A. 函数的图象关于原点对称
B. 的图象向左平移个单位长度后可能得到的图象
C. 的值不可能是整数
D. 在上仅有两个零点

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 河北省九大高峰按照海拔单位：米排名依次为小五台山、驼梁山、雾灵山、长城岭、白石山、野三坡、祖山、天桂山、狼牙山，则这九大高峰的海拔数据的第百分位数为______．
14. 某圆台的上、下底面圆的半径分别为，，且该圆台的体积为，则该圆台的高为______．
15. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为______．
16. 如图，在三棱锥中，平面，米，米，与底面所成角的正切值为已知蚂蚁从点出发，沿着侧面走到上的一点，再沿着侧面继续走到棱上，则这只蚂蚁从点出发到达棱的最短路程为______米，这只蚂蚁的最短路线与的交点到底面的距离为______米．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知复数．
    求；
    若，，，且为纯虚数，求在复平面内对应的点的坐标．
18. 在四边形中，．
    若，证明：四边形为菱形．
    已知为的中点，设，，试用，表示．
19. 如图，在正方体中，，分别为，的中点．
    证明：平面；
    若，求四棱锥的体积．

20. 在中，内角，，的对边分别为，，已知，．
    求；
    若的面积为，且为的中点，求线段的长．
21. 已知甲工厂生产一种内径为的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的件零件中抽出件，测得其内径尺寸如下单位：：
    
    注：表示有件尺寸为的零件．
    求这件零件内径尺寸的平均数；
    设这件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂件零件中其内径尺寸单位：在内的件数；
    若乙工厂也生产同种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的件零件中抽出件，测得其内径单位：的方差为，试比较甲、乙两工厂抽检的件零件内径尺寸的稳定性．
22. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，为的中点．
    证明：平面；
    若二面角的正切值为，求二面角的正弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：应从女性居民中抽取的人数为，
故选：．
根据分层抽样按比例抽取计算即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：非零向量，，且与共线，
，且，，
故选：．
由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值．
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：通过斜二测画法得到的直观图是面积为的等腰直角三角形，的面积为，是直角三角形．
故选：．
根据直观图面积原图面积，即可求出为面积为；
根据通过斜二测画法可知，即可得知是直角三角形．
本题考查平面图形的直观图，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，海里，
由正弦定理可得，代入数据得．
故选：．
由题意可知，，的值，利用正弦定理即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，解三角形的实际应用等知识，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
由已知结合两角差的正切公式先求出，然后结合二倍角的正切公式及诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角差的正切公式，二倍角的正切公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，设该圆锥外接球的球心为，其外接球的半径为，其底面圆的半径为，
又由圆锥的母线长为，高为，则，
则有，解可得，
则该圆锥外接球的表面积，
故选：．
根据题意，由圆锥的几何结构可得关于、的关系，解可得的值，计算可得答案．
本题考查圆锥与球的几何性质，涉及球的表面积计算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可设，，，
则，，
则，其中，
又，
则，
即的最大值为，
故选：．
由题意可设，，，则，，然后结合辅助角公式求三角函数的最值即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数最值的求法，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，，，与异面，故A正确；

在正方体中，，，分别为，，的中点，
，，
平面，平面，平面，
，平面平面，故B正确；
由图可知，平面与平面不垂直，故C错误；
与所成的角即与所成的角，
与所成角的正切值为，故D正确．
故选：．
数形结合判断；根据面面平行判定判断；找到与所成角，求出正切值判断．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由频率分布直方图得：
，
，故A正确，C错误；
及格率为，故B错误，D正确．
故选：．
根据频率分布直方图的性质，先求出，再根据直方图求出及格率．
本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
由题意可知或或，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可得的值可能为或或，
故选：．
先建系，然后标出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，故函数为奇函数，
故函数的图象关于原点对称，故选项A正确；
函数在上单调，
，即，即，故，
，又，
故，故，
函数在上单调，
在上单调，
故，故，则的值不可能是整数，故选项C正确；
将的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
若，则，
故，又，
不存在，使的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
故选项B错误；
，，，
故、，使，，
故在上仅有两个零点，故选项D正确．
故选：．
根据的表达式化简，从而判断选项A；由函数在上单调知，根据条件得到，从而判断选项C；由图象变换知，化简可得，从而判断选项B；由，知，而，从而判断选项D．
本题主要考查函数的图象变换规律及的性质应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：将这九大高峰的海拔数据按照从小到大的顺序排列，
依次为，，，，，，，，，
，
这九大高峰的海拔数据的第百分位数为第项数据，即．
故答案为：．
将数据从小到大排列，利用百分位数的定义能求出结果．
本题考查第百分位数的求法，考查百分位数的定义、计算方法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题可知，该圆台上底面圆的面积为，下底面圆的面积为，
设该圆台的高为，则该圆台的体积为，解得．
故答案为：．
根据圆台的体积公式计算高即可．
本题考查某圆台的体积公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数的图象关于直线对称，
，，，函数
在上单调，
，，故的最大值为，
故答案为：．
由题意，利用余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，求得的最大值．
本题主要考查余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于中档题．
 

16.【答案】  

【解析】解：因为平面，所以，，
又米，米，所以米，
因为与底面所成的角为，所以，所以米，
将侧面翻折至与平面共面，如图所示米，米；
取的中点，连接，交于，则，
蚂蚁的最短路线为，最短路程为米，
最短路线与的交点为取的中点，连接，
则米，米，
根据∽，得，则，
故这只蚂蚁的最短路线与的交点到底面的距离为米．
故答案为：．
由题意，将侧面翻折至与平面共面，由两点之间直线最短确定出蚂蚁的最短路线为，利用勾股定理求出最短路程为米，利用三角形相似求出．
本题考查了棱锥的展开图的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，
．
为纯虚数，
，
，
在复平面内对应的点的坐标为． 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：在四边形中，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，又四边形为平行四边形，，
，，
平行四边形的两对角线相互垂直，
四边形为菱形；
如图，四边形为平行四边形，为的中点，
，
，
联立两式解得，，
． 

【解析】先由得四边形为平行四边形，再由证得，从而证得平行四边形为菱形；
先将，分别用，表示，再利用方程思想将，用，表示，最后将用，表示，从而将用，分表示．
本题考查向量的线性运算，向量数量积，向量垂直的性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

19.【答案】证明：如图，连接，

因为，分别为，的中点，所以，
在正方体中，侧面为正方形，则，
又侧面，所以，
因为，
所以平面，
又，所以平面．
解：设，由知平面，
因为，分别为，的中点，所以，且是的中点，
所以，
又侧面，所以，
所以四边形的面积，
故四棱锥的体积． 

【解析】连接，证明平面即可；
设，由可得平面再根据为高，为底求解体积即可
本题主要考查了直线与平面的垂直关系以及四棱锥体积的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，故，
由，联立可得，，
所以，是锐角，
故B．
由知，，故，
解得，所以，，
所以：，即
，
故BD即为所求． 

【解析】根据已知，利用正弦定理，余弦定理得到，，的方程，用表示，，然后利用正弦定理求出即可；
结合面积公式求出三角形的，的长以及，最后利用向量的模长公式求解．
本题考查正余弦定理、面积公式在解三角形问题中的运用，属于中档题．
 

21.【答案】解：这件零件内径尺寸的平均数为：
．
，，
，，
，
，
，
件零件内径尺寸在的频率为．
估计该厂件零件中其内径尺寸单位：在内的件数为：
．
甲工厂抽检的个零件内径尺寸的方差，
乙工厂抽检的件零件内径尺寸的稳定性更好． 

【解析】根据平均数的计算公式求解即可；
根据方差的公式求解可得，进而根据内的频率估计即可；
根据甲工厂抽检的个零件内径尺寸的方差与比较判断即可．
本题考查平均数、方差、标准差、频率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

22.【答案】解：证明：如图，取棱的中点，连接，．
因为，分别为棱，的中点，所以 且 ．
因为 ， ，且 ，所以 且 ．
所以 且，则四边形为平行四边形，所以 ．
因为平面且平面，所以平面．

解：不妨设，连接，则，， ．
由勾股定理可得 ．
因为平面，所以 ．
因为 ，所以平面．
因为平面，所以 ．
又 ，所以 为二面角的平面角．
因为 ，所以 ．
分别设，的中点为，，连接，，．
因为平面，所以 ．
又因为 ，所以平面．
因为 ，所以平面， ．
因为，且为的中点，所以 ．
故 就是二面角的平面角．
在 中，，， ，
由余弦定理可得 ，所以 ．
故二面角的正弦值为 ． 

【解析】取棱的中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而得到 ．即可证明平面；
连接，可得 为二面角的平面角．由 ，可得，分别设，的中点为，，连接，，，可得 就是二面角的平面角，，在 中，由余弦定理可得 ，即可求解．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，二面角的求解，属于中档题．