数学10.1.2 复数的几何意义巩固练习

10.1复数及其几何意义人教  B版（2019）高中数学必修第四册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是(    )

A. 的虚部为
B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限
C. 的共轭复数
D.

2. 为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 的虚部为 D. 在复平面内对应的点在第三象限

3. 已知复数其中为虚数单位，给出下列命题：

：的共轭复数为；

：的虚部为；

：的模为；

：在复平面内对应的点位于第四象限．

其中真命题的个数为

A.  B.  C.  D.

4. 已知复数在复平面内的对应的点的坐标为，则下列结论正确的是(    )

A. 复数的共轭复数是 B. ，
C.  D. 的虚部是

5. 已知为虚数单位，且复数满足，则下面关于复数的三个命题：

复数的虚部为；；复数的共轭复数对应的点在第一象限．

其中正确命题的个数为  (    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是(    )

A. 复数的模为
B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为
D. 复数在复平面内对应的点在第二象限

7. 已知复数，则下列说法正确的是(    )

A. 的虚部为 B. 的共轭复数为
C.  D. 在复平面内对应的点在第二象限

8. 已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是(    )

A. 的虚部为 B. 对应的点在第一象限
C. 的实部为 D. 的共轭复数为

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知复数，为的共轭复数，复数，则下列结论正确的是

A. 对应的点在复平面的第二象限 B.
C. 的实部为 D. 的虚部为

10. 已知复数，则下列结论正确的是(    )

A. 复数的虚部为
B.
C. 复数的共轭复数为
D. 若复数满足，则的最大值为

11. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 的共轭复数为
C. 的实部与虚部之和为 D. 在复平面内的对应点位于第一象限

12. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是(    )

A. 复数的模为
B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为
D. 复数在复平面内对应的点在第一象限

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在下列命题中：
    两个复数不能比较大小；
    复数对应的点在第四象限；
    若是纯虚数，则实数；
    若，则；
    “复数为纯虚数”是“”的充要条件；
    复数；
    复数满足；
    复数为实数．
    其中正确命题的是______填序号
14. 已知，一元二次方程的一个根是纯虚数，则___．
15. 已知复数的共轭复数，满足，则的最大值为_________
16. 已知复数满足关系式，那么等于          

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知复数满足．

求；

若复数的虚部为，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部的取值范围．

18. 本小题分

已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数．

设复数，求；

设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．

19. 本小题分

已知复数，且为纯虚数是的共轭复数．

设复数，求；

复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．

20. 本小题分

已知复数的共轭复数是，满足是虚数单位．

求复数；

若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求．

21. 本小题分

已知复数是虚数单位．

若是纯虚数，求的值和；

设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第三象限，求的取值范围．

22. 本小题分

已知关于的方程有实数根．

求实数，的值．

若复数满足，求为何值时，有最小值，并求出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是复数的概念及运算，属于基础题．
先求出复数，再逐项进行判断即可．

【解答】

解：因为，
的虚部为，所以A错误；
复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以 B错误；
，所以C错误；
，所以D正确．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数运算以及复数的几何意义，复数的概念，复数的四则运算，共轭复数，属于基础题．
化简复数，然后依次判断各个选项即可．

【解答】

解：，则，
，故A错，

复数的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故D正确．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则可得：复数，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假． 
【解答】
解：，故错误；
的虚部为，故错误；
，故错误；
在复平面内对应的点位于第一象限，故错误．
所以真命题的个数为个，
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
根据复数在复平面内的对应的点求出复数的表达式，然后根据共轭复数的定义、复数模的计算公式、复数虚部的定义、复数的乘法运算法则进行逐一判断即可．

【解答】

解：因为复数在复平面内的对应的点的坐标为，

所以，因此，所以选项A不正确；

因为，所以选项B不正确；

因为，所以选项C不正确；

因为，所以的虚部是，因此选项D正确，

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查复数的概念以与几何意义、共轭复数，以及复数的四则运算与复数的模，属于基础题．
先由复数的四则运算化简复数，再逐项判断即可．
【解答】
解：由，可得，
则复数的虚部为，故错误；
，故错误；
，所对应的点在第一象限，故正确，
所以正确命题的个数为，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念、共轭复数、复数的几何意义、复数的模以及复数的除法运算，属于中档题．
根据复数除法运算计算出复数，根据相关概念即可求解．

【解答】

解：因为，
所以．
所以，，
复数的虚部为，
复数在复平面内对应的点在第四象限．
故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的四则运算，复数的概念，共轭复数，复数的模，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据题意由复数的四则运算可得，逐项分析求解即可．

【解答】解：，
A.的虚部为，故A错误；
B.的共轭复数为，故B正确；
C.，故C错误；
D.对应的点为，在第一象限，故D错误；
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念、几何意义、模、共轭复数和运算，属于基础题．
先化简，再逐一判断即可．

【解答】

解：，
的实部为，虚部为；
对应的点的坐标为，在第四象限
的共轭复数为．
故ABC错误，D正确
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念，复数的几何意义、复数的四则运算、共轭复数，复数的模，属于基础题．
根据复数的运算求出，即可求解．

【解答】

解：，
对应点为在第三象限，，实部为，虚部为，
选项B，C正确，选项AD错误．
故选BC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念，复数的模，共轭复数，以及复数的代数表示及其几何意义．
根据复数的概念，复数的模，以及共轭复数的概念直接判断，，，对于，设出，结合已知条件得到复数对应点在以为圆心，为半径的圆上，则答案可得．

【解答】

解：由题意， 复数，
所以复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；
共轭复数为 ，故C正确；
设，由复数满足，
得，
所以复数对应点在以为圆心，为半径的圆上，
所以的最大值为，故D正确．
故选BCD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念、复数的运算、复数的模、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题．
先利用复数的除法法则化简得到，再逐项判断得到答案即可．

【解答】

解：由题得：，
可得，则不正确；
的共轭复数为，则不正确；
的实部与虚部之和为，则C正确；
在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确．

故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，涉及复数的概念，复数的模，共轭复数，复数的几何意义，属于基础题．
先由计算出，再根据选项判断即可．
【解答】解：，则，
，故A错，
复数的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选ABC．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查复数的运算及性质，属于中档题．
由题意利用复数的定义、性质及运算法则，通过举反例，逐一判断各个命题是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：以下命题：
两个复数不能比较大小，错误，如复数和复数，显然．
复数对应的点在第四象限，错误，因为复数对应点为，在第二象限．
若是纯虚数，则实数，时，复数为．
若，则，错误，例如，， 时，等式仍成立．
“复数为纯虚数”是“，，错误，
因为当时，复数不一定是纯虚数．
复数，正确，复数，说明复数和都是实数，故有成立．，
反之，若，则和不一定是实数，不一定成立，错误；
复数满足，错误，如时，，，等式不成立．
复数为实数，正确，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数的概念、复数相等的充要条件 、复数的模以及复数的四则运算，属于中档题；

由题意可设复数，由是的复数根，可得，
再利用复数相等和复数的模即可求解；
【解答】
解：由题意可设复数，且，是虚数单位，

由是的复数根，

可得，即，

 ，解得，，

，
．
故答案为；

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数的模，共轭复数的概念，复数的几何意义，，属于中档题．
设，，然后利用模可得，然后利用三角函数求出最值．
【解答】
解：设，，则，
则，
所以，
设，，
则
所以
，其中，
所以当时，的最大值为
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查共轭复数，复数的模，复数相等的判定，属于基础题．
设，，根据题意建立关于，的方程组，从而得解．

【解答】

解：设，，则，
，
，
，解得
故，
故答案为：．

17.【答案】解：设，
则，
即，
则：，解得，则，
从而；  
设，则，    
因为在复平面内对应的点位于第四象限，
则，解得．
即实数的取值范围为． 

【解析】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数相等，复数的四则运算，属于中档题．
设，由复数相等得出，求出，利用求模公式求解即可    
设，则  ，由复数的结几何意义得出，即可求解实数的取值范围．
 

18.【答案】解：，，

，

又为纯虚数，

．

，

，

；

，，

．

又复数所对应的点在第一象限，

．
即的取值范围是．

【解析】本题考查复数的综合问题，属于基础题．
利用共轭复数和纯虚数的概念求出的值，利用复数的运算法则以及求模公式计算；

先化简，再利用对应的点在第一象限得到关于的不等式组，求出的取值范围．

19.【答案】解：因为，所以，
所以，
又因为为纯虚数，
所以，则，即，
，
所以；
，，，所以，
所以，
因为在复平面对应的点在第一象限，所以，解得，
所以的取值范围为． 

【解析】本题考查复数的概念、运算、模、共轭复数、几何意义和虚数单位的幂运算的周期性，属于一般题．
求出后，得，利用复数的运算法则可求由模长公式即可求；
求出，利用复数的几何意义得不等式组，解不等式组即可求的范围．
 

20.【答案】解：
设，则，
因为，
所以，
即，
所以
解得或
所以或；
由知或，
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，
所以
． 

【解析】本题考查复数的代数表示及其几何意义、复数相等的充要条件、共轭复数、复数的四则运算、复数的模，属于中等题．
设，则，代入，利用复数相等的条件，求出，的值，即可求出结果；
利用复数的四则运算法则化简，利用模长公式，即可求出结果．
 

21.【答案】解：
，

是纯虚数，

，且，

解得所以 ，
；

是的共轭复数，所以，

，

复数在复平面上对应的点在第三象限，

解得，

即实数的取值范围为．

【解析】本题考查复数的概念，共轭复数，复数的四则运算和复数的几何意义．

先化简复数，再由为纯虚数得出关系式求出的值及；

由得出复数的共轭复数，得出，再由复数在复平面上对应的点在第三象限，得出不等式组求出的取值范围．

22.【答案】解：是方程的实根，
，
，解之得．
设，由，
得，
即，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，
如图，

当点在的连线上时，有最大值或最小值，
，
半径，
当时．
有最小值，且． 

【解析】本题考查复数相等，考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法，是有一定难度的中档题目．
复数方程有实根，方程化简为、，利用复数相等，即，解方程组即可．
先把、代入方程，同时设复数，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出，得到．