【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件章末检测卷（三）

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章末检测卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
第3章 圆锥曲线与方程
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析　抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.
C
D
解析　∵y2＝8x的焦点是(2，0)，
解析　设椭圆的半焦距为c，
A
∴△F1MF2面积的最大值为bc，
4.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　)
C
解析　设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1，
5.动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 解析　已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”， 由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
D
解析　由两个椭圆的图形可得，当C的长轴端点恰好为D的短轴端点时，两个椭圆只有两个公共点，则m＝4.
B
7.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
D
D
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.
BC
解析　焦点在x轴上，则标准方程中a2>a＋6，解得a>3或a<－2.又a2>0，a＋6>0，得a>－6，所以a>3或－6AC
解析　当m＝1时，曲线C为x2＋y2＝2，轨迹为圆，A正确；
m值不存在，D错误.
BCD
∴抛物线方程为y2＝6x，
∴|BD|＋|BF|＝6＝|AF|，则F为AD中点，B正确.
解析　设椭圆的左焦点为F′，则F′(－2，0)，
BCD
又当P，F′，A三点共线时||PA|－|PF′||最大，
y2＝16x
∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，
4
∴两曲线有两个交点，∴A∩B有两个元素，∴A∩B的子集的个数是22＝4.
y＝±3x
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
解　设PF1的中点为M，连接F2M.由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a.在Rt△F1F2M中，
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
18.(12分)抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，求m的取值范围. 解　设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝m(x－3)对称，AB的中点为M(x，y)， 则当m＝0时，有直线y＝0，显然存在两点关于它对称.
19.(12分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2. (1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；
解　因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为：x＝－1，所以条件④不适合题意.当选择条件③时，|AF|＝xA＋1＝1＋1＝2，此时适合题意.故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
解　由题意得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2).
所以Δ>0恒成立，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，则x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝－16t2＋16t2＋16＝16，
解　∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∵点M在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.
21.(12分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求l的方程；
解　由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
因此l的方程为y＝x－1.
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解　由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
当圆心为(3，2)时，r2＝(3＋1)2＝16；当圆心为(11，－6)时，r2＝(11＋1)2＝144.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
(2)求△PAB的面积.
消y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以A(－3，－1)，B(0，2).