【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件培优课　与二项式定理有关的重要题型

培优课　与二项式定理有关的重要题型

类型一　形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题

(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解.

(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.

(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑.

例1 (1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)

A.－4   B.－3 

C.3   D.4

(2)(1＋ay)6展开式中x－2y3项的系数为160，则a＝(　　)

A.2   B.4 

C.－2   D.－2

答案　(1)B　(2)C

解析　(1)法一　(1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项为C()n＝Cx，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.

令＋＝1，得m＋n＝2，

所以m＝0，n＝2或m＝n＝1或m＝2，n＝0，

于是(1－)6·(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.

法二　(1－)6(1＋)4

＝[(1－)(1＋)]4(1－)2

＝(1－x)4(1－2＋x)，

于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.

(2)(1＋ay)6展开式的通项为Tr＋1＝C×16－r(ay)r＝Caryr，

令r＝3可得(1＋ay)6展开式中y3的系数为Ca3，

∴(1＋ay)6展开式中x－2y3的系数为(－1)Ca3＝160，

可得a3＝－8，解得a＝－2，故选C.

类型二　 形如(a＋b＋c)n的展开式问题

三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性.

例2 的展开式中的常数项是________.

答案　

解析　法一　原式＝，

∴展开式的通项为Tk1＋1＝Ck155－k1·k1(k1＝0，1，2，…，5).

当k1＝5时，T6＝()5＝4，

当0≤k1<5时，5－k1的展开式的通项为T′k2＋1＝Ck25－k15－k1－k2k2

＝Ck25－k15－k1－k2·x5－k1－2k2(k2＝0，1，2，…，5－k1).

令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.

∵0≤k1<5且k1∈Z，∴或

∴常数项为4＋CC×＋CC××()3

＝4＋＋20＝.

法二　原式＝

＝·[(x＋)2]5

＝·(x＋)10.

求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，

即C·()5.

∴所求的常数项为＝.

类型三　整除和余数问题

(1)合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数.

(2)用二项式定理展开，保证展开后的大部分项是除数的倍数，进而可证明或判断被除数能否被除数整除，若不能整除，则可求出余数.

例3 (1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　)

A.一   B.二 

C.三   D.四

答案　A

解析　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.

因为810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N＋)，所以第810天相当于第1天，故为星期一.

(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 021＋a能被13整除，则a＝__________.

答案　1

解析　∵512 021＋a＝(52－1)2 021＋a＝C522 021－C522 020＋C522 019－…＋C521－1＋a能被13整除，

故－1＋a能被13整除，

又0≤a<13，故a＝1.