培优课　离心率的计算

离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：

(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；

(2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)；

(3)由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程；

(4)通过特殊值或特殊位置求离心率；

(5)在焦点三角形内求离心率.

类型一　以焦点三角形求离心率

例1 以F1和F2为焦点的双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.

答案　＋1

解析　法一　如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.

易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，

|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，

从而双曲线的离心率e＝＝1＋.

法二　如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，

于是离心率

e＝＝

＝

＝＝＋1.

例2 椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝120°，求椭圆的离心率的范围.

解　在△PF1F2中，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝θ，

由余弦定理得

cos θ＝

＝＝－1≥

－1＝－1＝1－2e2

即e2≥＝sin2 .

∴e≥sin ，当且仅当m＝n时等号成立，即P为短轴端点，又存在∠F1PF2＝120°，

∴e≥sin 60°，∴≤e<1.

即椭圆的离心率的范围为.

类型二　寻齐次方程求离心率

例3 已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.

答案　2

解析　如图，由题意知|AB|＝，

|BC|＝2c.

又2|AB|＝3|BC|，

∴2×＝3×2c，

即2b2＝3ac，

∴2(c2－a2)＝3ac，

两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，

解得e＝2(负值舍去).

例4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________.

答案　

解析　在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.

由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，

将b2＝a2－c2代入，

得a2－ac－c2＝0，

即e2＋e－1＝0，

解得e＝.

因为0<e<1，所以e＝.

类型三　求离心率的取值范围

例5 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支交于M，N两点，若|MN|＝|MF1|，则双曲线C的离心率的取值范围是________.

答案　(1，)

解析　设|MF2|＝m，由双曲线定义可得|MF1|＝m＋2a，|NF1|＝2a＋|NF2|.

∵|MN|＝|MF1|，

∴|NF2|＝|MF1|－|MF2|＝2a，

∴|NF1|＝4a.

在△NF1F2中，

cos∠F1NF2＝

＝－＝－>0，

∴e2<5，

∵e>1，∴1<e<.

例6 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　)

A.(0，－1)   B.

C.   D.(－1，1)

答案　D

解析　在△PF1F2中，由正弦定理得

＝，

又＝，

则＝＝e.

又因为a－c≤|PF2|≤a＋c，

则e＝

＝－1∈，

即<e<，

解得－1<e<1.