高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数习题ppt课件

午练20　幂函数、指数函数和对数函数的综合　　　　　　　　　　　　　　

1.已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞0的解集为(　　)

A.{x|0＜x＜1}   B.{x|－1＜x≤0}

C.{x|－1＜x＜1}   D.{x|x＞－1}

答案　C

解析　法一　若x＞0，则由f(x)＞0得－log2x＞0，解得0＜x＜1；若x≤0，则由f(x)＞0得1－x2＞0，解得－1＜x≤0.综上，不等式f(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜1}，故选C.

法二　作出y＝f(x)的图象(如图)，又f(x)＝0的解为x＝1或x＝－1，所以f(x)＞0的解集为(－1，1).

2.设a，b都是不等于1的正数，则3a＞3b＞3是loga3＜logb3的(　　)

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.即不充分又不必要条件

答案　B

解析　若3a＞3b＞3，则a＞b＞1，从而有loga3＜logb3；若loga3＜logb3不一定有3a＞3b＞3，比如当a＝，b＝3时，loga3＜logb3，但3a＜3b.故“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分不必要条件.故选B.

3.已知函数f(x)＝log2(x2－2x－3)，则函数f(x)的单调递减区间是(　　)

A.(－∞，1)   B.(－1，1)

C.(1，3)   D.(－∞，－1)

答案　D

解析　由x2－2x－3＞0知，定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).而函数u＝x2－2x－3在(－∞，－1)上为减函数，y＝log2u在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，－1).故选D.

4.若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)

A.a>2b   B.a<2b

C.a>b2   D.a<b2

答案　B

解析　令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增.

又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f(a)<f(2b)，所以a<2b.故选B.

5.(多选)设函数f(x)的定义域为D，若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是(　　)

A.y＝x2   B.y＝

C.f(x)＝ln(2x＋3)   D.y＝2x＋3

答案　BCD

解析　因为若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以只需f(x)的值域关于原点对称.

A中函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合；

B中函数y＝的值域为{y|y≠0}，关于原点对称，符合；

C中函数f(x)＝ln(2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合；

D中函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称.符合.

6.若关于x的方程5x＝的根为负数，则实数a的取值范围是________.

答案　(－3，1)

解析　因为关于x的方程5x＝的根为负数，即x＜0，所以0＜5x＜1，即0＜＜1，解得－3＜a＜1.

7.若函数f(x)＝loga(x－a)(0＜a＜1)在区间[2a，3a]上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为________.

答案　

解析　因为2a≤x≤3a，所以a≤x－a≤2a.又0＜a＜1，则函数的最大值与最小值分别为logaa＝1，loga(2a)＝1＋loga2.由1＝2(1＋loga2)，解得a＝.

8.已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(9)＝________；若f(a)＝4，则a＝________.

答案　　

解析　设幂函数y＝f(x)＝xα，α∈R，因为其图象过点，所以2α＝＝2－，解得α＝－，所以f(x)＝x－，所以f(9)＝9－＝.由f(a)＝4，得a－＝4，解得a＝.

9.若函数y＝logax在区间[2，＋∞)上总有|y|＞1，则实数a的取值范围是________.

答案　∪(1，2)

解析　因为函数y＝logax在[2，＋∞)上总有|y|＞1，故当0＜a＜1时，y＝logax在[2，＋∞)上总有y＜－1，则a＞，即＜a＜1；当a＞1时，y＝logax在[2，＋∞)上总有y＞1，则a＜2，即1＜a＜2，综上，实数a的取值范围是∪(1，2).

10.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.

(1)若f(x)＝，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.

解　(1)当x＜0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；

当x≥0时，f(x)＝2x－，

由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，

将上式看成关于2x的一元二次方程，

解得2x＝2或2x＝－，

因为2x＞0，所以2x＝2，所以x＝1.

(2)由题意，得当t∈[1，2]时，

2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1).

因为22t－1＞0，

所以m≥－(22t＋1).

因为t∈[1，2]，

所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故实数m的取值范围是[－5，＋∞).