【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练6　椭圆

午练6　椭圆

1.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)

A.锐角三角形  B.直角三角形

C.钝角三角形  D.等腰直角三角形

答案　B

解析　根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝8.

不妨假设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2，

所以PF1＝5，PF2＝3.

而F1F2＝4，

所以F1F＋PF＝PF，

所以△PF1F2是直角三角形，故选B.

2.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　C

解析　方程可化为＋＝1.

若m>n>0，则0<<，可得方程表示焦点在y轴上的椭圆.

若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则>>0，可得m>n>0.故选C.

3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B.若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋y2＝1

C.＋＝1  D.＋＝1

答案　A

解析　由四边形AF2BF1是正方形可得b＝c，

再由四边形AF2BF1的面积为4可得·2c·2b＝4，即bc＝2，

∴b2＝c2＝2.

又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，

∴椭圆的方程为＋＝1.

4.已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P的个数为(　　)

A.3  B.4 

C.6  D.8

答案　C

解析　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.

5.(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)

A.kAB·kOM＝－1

B.若点M坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0

C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为

D.若直线l的方程为y＝x＋2，则AB＝

答案　BD

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

则

两式相减，得＋＝0，

即·＝－2，

即kAB·kOM＝－2.

对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；

对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；

对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，

所以C不正确；

对于D，由得3x2＋4x＝0，

解得x＝0或x＝－，所以AB＝·＝，所以D正确.故选BD.

6.若椭圆＋＝1(m>0)上一点到两焦点的距离之和为m－3，则实数m的值为________，焦点坐标为________.

答案　9　(0，±)

解析　若0<m<4，则m－3＝4，得m＝7(舍去)；若m>4，则m－3＝2，解得＝3或－1(舍去)，所以m＝9，所以焦点坐标为(0，±).

7.已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，且焦距为6，则实数m的值为________.

答案　4或

解析　若椭圆的焦点在x轴上，则a2＝25，b2＝m2.

∵a2＝b2＋c2，即25＝m2＋9，

∴m2＝16.

∵m>0，∴m＝4.

若椭圆的焦点在y轴上，则a2＝m2，b2＝25，

由a2＝b2＋c2，

∴m2＝25＋9，∴m2＝34.

∵m>0，∴m＝.

综上可得m＝4或.

8.椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点.现从椭圆＋＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为________.

答案　12

解析　依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12.

9.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是________.

答案　

解析　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可得yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，所以e＝＝.

10.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值.

解　(1)因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2.

又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，

所以＋＝1.所以a2＝8，b2＝2.

故所求椭圆方程为＋＝1.

(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理，

得x2＋2mx＋2m2－4＝0.

所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.

又直线l与椭圆相交，所以Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.

则AB＝×＝.

点P到直线l的距离d＝＝.

所以S△PAB＝d·AB＝××＝≤＝2.

当且仅当m2＝2，即m＝±时，△PAB的面积取得最大值为2.