高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数教案设计

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教材在知识的呈现方式上，并没有过度强调理性推导．基本初等函数I的性质都是通过图象直观感知的，自始至终紧扣“图象——性质”这一条主线，从作函数的图象开始，通过对函数图象的观察，得出函数的性质．这一研究方法，在以后的学习中经常用到，有利于激发学生开展学习活动，结合观察、思考、归纳、抽象、概括、运用等方法，对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，在体现数学理性精神同时，注意适度的形式化．
1.教学重点：幂函数图象与性质的理解.
2.教学难点：掌握幂函数在第一象限的分类特征.
1．判断．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若函数f(x)＝－x2，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，则f(x)是偶函数．( )
(2)若函数f(x)＝eq \r(x2)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．( )
(3)若函数f(x)＝x0，则f(x)是奇函数．( )
(4)若函数f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．若函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，则f(－2)和f(2)的大小关系为________．
答案：f(－2)＝f(2)
3．若函数f(x)＝2x＋b是奇函数，则b＝________.
答案：0
4．若函数y＝x2＋mx的图象关于y轴对称，则m＝____________.
答案：0
知识点一 幂函数的概念
思考 y＝eq \f(1,x)，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？
答案 底数为x，指数为常数．
梳理 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
知识点三 一般幂函数的图象特征
一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
类型一 幂函数的概念
例1 已知是幂函数，求m，n的值．
解 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\f(3,2).))
所以m＝－3或1，n＝eq \f(3,2).
点评 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))4都不是幂函数．
跟踪训练1 在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 因为y＝eq \f(1,x2)＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y＝1不是幂函数．
类型二 幂函数的图象及应用
例2 若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,4)))在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解 设f(x)＝xα，因为点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，所以，将点(eq \r(2)，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(eq \r(2))α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1点评 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．
类型三 幂函数性质的应用
命题角度1 比较大小
例3 设则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
答案 B
解析 ∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x在R上为减函数，∴，即a∴即a>c.∴b>a>c.故选B.
点评 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.3与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.3；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.3与
解 (1)∵0<0.3<1，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．
又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.3>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.3.
(2)∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
(3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，
∴由eq \f(2,5)>0.3，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.3>①
又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，
②
由①②知
命题角度2 幂函数性质的综合应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为
因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得eq \f(2,3)故a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1或\f(2,3)))点评 幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．
图象是关键，画准图象是了解性质的前提，所以要强调画幂函数图象的两个关键点：
(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 课程目标
学科素养
1.了解幂函数的概念.
2.掌握y＝xαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的图象与性质.
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．
a数学抽象: 幂函数的概念的理解.
b逻辑推理: 幂函数图象与性质的应用.
c数学运算:根据幂函数的性质求参数的值或范围.
d 直观想象:根据图像掌握幂函数在第一象限的分类特征.
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞) 上减，
在(－∞，0) 上减