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    人教A版(2019)数学必修第一册(教案)三角函数的概念
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    人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教案,共19页。教案主要包含了第1课时,教学过程,第2课时,教学目标,核心素养等内容,欢迎下载使用。

    三角函数的概念

    【第1课时】
    三角函数的概念
    【教学目标】
    【核心素养】
    1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.(重点、难点)
    2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.(易错点)
    3.掌握公式——并会应用.
    1.通过三角函数的概念,培养数学抽象素养.
    2.借助公式的运算,提升数学运算素养.
    【教学过程】
    一、新知初探
    1.单位圆
    在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.
    2.任意角的三角函数的定义
    (1)条件

    在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,α∈R它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
    (2)结论
    ①y叫做α的正弦函数,记作sinα,即sinα=y;
    ②x叫做α的余弦函数,记作cosα,即cosα=x;
    ③叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).
    (3)总结
    =tanα(x≠0)是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数,正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数.
    3.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
    三角函数
    定义域
    sinα
    R
    cosα
    R
    tanα

    4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
    (1)图示:

    (2)口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
    5.公式一

    二、初试身手
    1.sin(-315°)的值是( )
    A.-
    B.-
    C.
    D.
    答案:C
    解析:sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin45°=.
    2.已知sinα>0,cosα<0,则角α是( )
    A.第一象限角
    B.第二象限角
    C.第三象限角
    D.第四象限角
    答案:B
    解析:由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知,角α是第二象限角.
    3.sinπ=________.
    答案:
    解析:sinπ=sin=sin=.
    4.角α终边与单位圆相交于点M,则cosα+sinα的值为________.
    答案:
    解析:cosα=x=,sinα=y=,
    故cosα+sinα=.
    三、合作探究
    三角函数的定义及应用
    类型1
    探究问题
    1.一般地,设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sinα,cosα,tanα为何值?
    提示:sinα=,cosα=,tanα=(x≠0).
    2.sinα,cosα,tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变?
    提示:sinα,cosα,tanα的值只与α的终边位置有关,不随P点在终边上的位置的改变而改变.
    例1:(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0),且cosθ=x,则sinθ+tanθ的值为________.
    (2)已知角α的终边落在直线x+y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.
    思路点拨:(1)→
    (2)→
    (1)或
    因为r=,cosθ=,
    所以x=.
    又x≠0,所以x=±1,所以r=.
    又y=3>0,所以θ是第一或第二象限角.
    当θ为第一象限角时,sinθ=,tanθ=3,则sinθ+tanθ=.
    当θ为第二象限角时,sinθ=,tanθ=-3,
    则sinθ+tanθ=.
    (2)解:直线x+y=0,即y=-x,经过第二、四象限,在第二象限取直线上的点(-1,),则r==2,所以sinα=,cosα=-,tanα=-;
    在第四象限取直线上的点(1,-),
    则r==2,
    所以sinα=-,cosα=,tanα=-.
    母题探究
    1.将本例(2)的条件“x+y=0”改为“y=2x”其他条件不变,结果又如何?
    解:当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点P(1,2),由r=|OP|==,得sinα==,cosα==,tanα==2.
    当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q(-1,-2),
    由r=|OQ|==,得:
    sinα==-,cosα==-,
    tanα==2.
    2.将本例(2)的条件“落在直线x+y=0上”改为“过点P(-3a,4a)(a≠0)”,求2sinα+cosα.
    解:因为r==5|a|,
    ①若a>0,则r=5a,角α在第二象限,
    sinα===,cosα===-,
    所以2sinα+cosα=-=1.
    ②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,
    sinα==-,cosα==,
    所以2sinα+cosα=-+=-1.
    规律方法
    由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤:
    (1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
    ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
    ②在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0).则sinα=,cosα=.已知α的终边求α的三角函数时,用这几个公式更方便.
    (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.
    三角函数值符号的运用
    类型2
    例2:(1)已知点P(tanα,cosα)在第四象限,则角α终边在( )
    A.第一象限
    B.第二象限
    C.第三象限
    D.第四象限
    (2)判断下列各式的符号:
    ①sin145°cos(-210°);②sin3cos4tan5.
    思路点拨:(1)先判断tanα,cosα的符号,再判断角α终边在第几象限.
    (2)先判断已知角分别是第几象限角,再确定各三角函数值的符号,最后判断乘积的符号.
    答案:(1)C
    解析:因为点P在第四象限,所以有由此可判断角α终边在第三象限.
    (2)解:①∵145°是第二象限角,
    ∴sin145°>0,
    ∵-210°=-360°+150°,
    ∴-210°是第二象限角,
    ∴cos(-210°)<0,
    ∴sin145°cos(-210°)<0.
    ②∵<3<π,π<4<,<5<2π,
    ∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,
    ∴sin3·cos4·tan5>0.
    规律方法
    判断三角函数值在各象限符号的攻略:
    1.基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;
    2.关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;
    3.注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.
    提醒:注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
    跟踪训练
    1.已知角α的终边过点(3a-9,a+2)且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是________.
    答案:-2<a≤3
    解析:因为cosα≤0,sinα>0,
    所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上,因为α终边过(3a-9,a+2),
    所以所以-2<a≤3.
    2.设角α是第三象限角,且=-sin,则角是第________象限角.
    答案:四
    解析:角α是第三象限角,则角是第二、四象限角,
    ∵=-sin,∴角是第四象限角.
    诱导公式一的应用
    类型3
    例3:求值:
    (1)tan405°-sin450°+cos750°;
    (2)sincos+tancos.
    解:(1)原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°+30°)
    =tan45°-sin90°+cos30°
    =1-1+=.
    (2)原式=sincos+tan·cos
    =sincos+tancos
    =×+1×=.
    规律方法
    利用诱导公式一进行化简求值的步骤
    1.定形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z].
    2.转化:根据诱导公式,转化为求角α的某个三角函数值.
    3.求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.
    跟踪训练
    3.化简下列各式:
    (1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-2abcos(-1080°);
    (2)sin+cosπ·tan4π.
    解:(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-2abcos(-3×360°)
    =a2sin90°+b2tan45°-2abcos0°
    =a2+b2-2ab=(a-b)2.
    (2)sin+cosπ·tan4π
    =sin+cosπ·tan 0=sin+0=.
    四、课堂小结
    1.三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础,要充分理解其内涵,把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关,与所选取的点无关这一关键点.
    2.诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等,反之不一定成立,记忆时可结合三角函数定义进行记忆.
    3.三角函数值在各象限的符号主要涉及开方,去绝对值计算问题,同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题.
    五、课堂达标
    1.思考辨析
    (1)sinα表示sin与α的乘积.( )
    (2)设角α终边上的点P(x,y),r=|OP|≠0,则sinα=,且y越大,sinα的值越大.( )
    (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.( )
    (4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )
    提示:(1)错误.sinα表示角α的正弦值,是一个“整体”.
    (2)错误.由任意角的正弦函数的定义知,sinα=.但y变化时,sinα是定值.
    (3)正确.
    (4)错误.终边落在y轴上的角的正切函数值不存在.
    答案:(1)×(2)×(3)√(4)×
    2.已知角α终边过点P(1,-1),则tanα的值为( )
    A.1
    B.-1
    C.
    D.-
    答案:B
    解析:由三角函数定义知tanα==-1.
    3.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,若sinα=,则sinβ=________.
    答案:-
    解析:设角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),
    则角β的终边与单位圆相交于点Q(x,-y),
    由题意知y=sinα=,所以sinβ=-y=-.
    4.求值:(1)sin180°+cos90°+tan0°.
    (2)cos+tan.
    解:(1)sin180°+cos90°+tan0°=0+0+0=0.
    (2)cos+tan
    =cos+tan
    =cos+tan=+1=.
    【第2课时】
    同角三角函数的基本关系
    【教学目标】
    【核心素养】
    1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点)
    2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点)
    1.通过同角三角函数的基本关系进行运算,培养数学运算素养.
    2.借助数学式子的证明,培养逻辑推理素养.
    【教学过程】
    一、新知初探
    1.平方关系
    (1)公式:sin2α+cos2α=1.
    (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
    2.商数关系
    (1)公式:=tanα(α≠kπ+,k∈Z).
    (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
    思考:对任意的角α,sin22α+cos22α=1是否成立?
    提示:成立.平方关系中强调的同一个角且是任意的,与角的表达形式无关.
    二、初试身手
    1.化简的结果是( )
    A.cos
    B.sin
    C.-cos
    D.-sin
    答案:C
    解析:因为是第二象限角,
    所以cos<0,
    所以===-cos.
    2.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是( )
    A.tanα=-
    B.cosα=-
    C.sinα=-
    D.tanα=
    答案:B
    解析:由商数关系可知A,D均不正确.当α为第二象限角时,cosα<0,sinα>0,故B正确.
    3.若cosα=,且α为第四象限角,则tanα=________.
    答案:-
    解析:因为α为第四象限角,且cosα=,
    所以sinα=-=-=-,
    所以tanα==-.
    三、合作探究
    直接应用同角三角函数关系求值
    类型1
    例1:(1)已知α∈,tan α=2,则cosα=________.
    (2)已知cosα=-,求sinα,tanα的值.
    思路点拨:(1)根据tanα=2和sin2α+cos2α=1列方程组求cosα.
    (2)先由已知条件判断角α是第几象限角,再分类讨论求sinα,tanα.
    答案:(1)-
    解析:由已知得
    由①得sinα=2cos α代入②得4cos2α+cos2α=1,
    所以cos2α=,又α∈,所以cosα<0,
    所以cosα=-.
    (2)解:∵cosα=-<0,
    ∴α是第二或第三象限的角.
    如果α是第二象限角,那么
    sin α===,
    tanα===-.
    如果α是第三象限角,同理可得
    sinα=-=-,tanα=.
    规律方法
    利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法:
    1.已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
    2.若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
    提醒:应用平方关系求三角函数值时,要注意有关角终边位置的判断,确定所求值的符号.
    跟踪训练
    1.已知sinα+3cosα=0,求sinα,cosα的值.
    解:∵sinα+3cosα=0,
    ∴sinα=-3cosα.
    又sin2α+cos2α=1,
    ∴(-3cosα)2+cos2α=1,
    即10cos2α=1,
    ∴cosα=±.
    又由sinα=-3cosα,
    可知sinα与cosα异号,
    ∴角α的终边在第二或第四象限.
    当角α的终边在第二象限时,cosα=-,sinα=;
    当角α的终边在第四象限时,cosα=,sinα=-.
    灵活应用同角三角函数关系式求值
    类型2
    例2:(1)已知sinα+cosα=,α∈(0,π),则tanα=________.
    (2)已知=2,计算下列各式的值.
    ①;
    ②sin2α-2sinαcosα+1.
    思路点拨:(1)法一:→→→
    法二:→→
    (2)→
    答案:(1)-
    解析:法一:(构建方程组)
    因为sinα+cosα=,①
    所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=,
    即2sinαcosα=-.
    因为α∈(0,π),所以sinα>0,cosα<0.
    所以sinα-cosα===.②
    由①②解得sinα=,cosα=-,
    所以tanα==-.
    法二:(弦化切)
    同法一求出sinαcosα=-,=-,=-,
    整理得60tan2α+169tanα+60=0,解得tanα=-或tanα=-.
    由sinα+cosα=>0知|sinα|>|cosα|,故tanα=-.
    (2)解:由=2,化简,
    得sinα=3cosα,
    所以tanα=3.
    ①法一(换元)原式===.
    法二(弦化切)原式===.
    ②原式=+1
    =+1=+1=.
    母题探究
    1.将本例(1)条件“α∈(0,π)”改为“α∈(-π,0)”其他条件不变,结果又如何?
    解:由例(1)求出2sinαcosα=-,
    因为α∈(-π,0),
    所以sinα<0,cosα>0,
    所以sinα-cosα=-
    =-=-.
    与sinα+cosα=联立解得
    sinα=-,cosα=,
    所以tanα==-.
    2.将本例(1)的条件“sinα+cosα=”改为“sinα·cosα=-”其他条件不变,求cosα-sinα.
    解:因为sinαcosα=-<0,所以α∈,所以cosα-sinα<0,
    cosα-sinα=-=-=-.
    规律方法
    1.sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是:(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.
    2.已知tanα=m,求关于sinα,cosα的齐次式的值
    解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sinα,cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cosα≠0,所以可除以cosα,这样可将被求式化为关于tanα的表示式,然后代入tanα=m的值,从而完成被求式的求值.
    提醒:求sinα+cosα或sinα-cosα的值,要注意根据角的终边位置,利用三角函数线判断它们的符号.
    应用同角三角函数关系式化简
    类型3
    例3:(1)化简=________.
    (2)化简·.(其中α是第三象限角)
    思路点拨:(1)将cos2α=1-sin2α代入即可化简.
    (2)首先将tanα化为,然后化简根式,最后约分.
    答案:(1)1
    原式===1.
    (2)解:原式=·
    =·
    =·
    =·.
    又因为α是第三象限角,
    所以sinα<0.
    所以原式=·=-1.
    规律方法
    三角函数式化简的常用方法
    1.化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
    2.对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
    3.对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
    提醒:在应用平方关系式求sinα或cosα时,其正负号是由角α所在的象限决定,不可凭空想象.
    跟踪训练
    2.化简tanα,其中α是第二象限角.
    解:因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0.
    故tanα=tan α=tan α==·=-1.
    应用同角三角函数关系式证明
    类型4
    探究问题
    1.证明三角恒等式常用哪些方法?
    提示:(1)从右证到左.
    (2)从左证到右.
    (3)证明左右归一.
    (4)变更命题法.如:欲证明=,则可证MQ=NP,或证=等.
    2.在证明=sin α+cos α时如何巧用“1”的代换.
    提示:在求证=sinα+cosα时,观察等式左边有2sinαcosα,它和1相加应该想到“1”的代换,即1=sin2α+cos2α,
    所以等式左边



    =sinα+cosα=右边.
    例4:求证:=.
    思路点拨:解答本题可由关系式tan α=将两边“切”化“弦”来证明,也可由右至左或由左至右直接证明.
    证明:法一:(切化弦)
    左边==,
    右边==.
    因为sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα),
    所以=,所以左边=右边.
    所以原等式成立.
    法二:(由右至左)
    因为右边=


    ==
    =左边,
    所以原等式成立.
    规律方法
    1.证明恒等式常用的思路是:(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;(3)比较法(作差,作比法).
    2.技巧感悟:朝目标奔.常用的技巧有:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为弦;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).
    提醒:解决此类问题要有整体代换思想.
    跟踪训练
    3.求证:(1)=;
    (2)2(sin6θ+cos6θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1=0.
    证明:(1)左边




    ==
    =右边,
    ∴原等式成立.
    (2)左边=2[(sin2θ)3+(cos2θ)3]-3(sin4θ+cos4θ)+1
    =2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1
    =(2sin4θ-2sin2θcos2θ+2cos4θ)-(3sin4θ+3cos4θ)+1
    =-(sin4θ+2sin2θcos2θ+cos4θ)+1
    =-(sin2θ+cos2θ)2+1=-1+1=0=右边,
    ∴原等式成立.
    四、课堂小结

    五、当堂达标
    1.思考辨析
    (1)对任意角α,=tan都成立.( )
    (2)因为sin2π+cos2=1,所以sin2α+cos2β=1成立,其中α,β为任意角.( )
    (3)对任意角α,sinα=cosα·tanα都成立.( )
    提示:由同角三角函数的基本关系知(2)错,由正切函数的定义域知α不能取任意角,所以(1)错,(3)错.
    答案:(1)×(2)×(3)×
    2.已知tanα=-,则的值是( )
    A.
    B.3
    C.-
    D.-3
    答案:A
    解析:因为tanα=-,
    所以===.
    3.已知α是第二象限角,tanα=-,则cosα=________.
    答案:-
    解析:因为=-,且sin2α+cos2α=1,
    又因为α是第二象限角,
    所以cosα<0,
    所以cosα=-.
    4.(1)化简,其中α是第二象限角.
    (2)求证:1+tan2α=.
    解:(1)因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,
    所以sin αcos α<0,
    所以=

    =-sinαcosα.
    (2)证明:1+tan2α=1+==.
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